Question

如图，直线y=kx+b分别交y轴、x 轴于A（0、2）、B（4、0））两点，抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）设N（x、y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点N作直线MN垂直x轴交直线AB于点M，若点N在第一象限内．试问：线段MN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）由直线y=kx+b分别交y轴、x 轴于A（0、2）、B（4、0））两点，抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点，利用待定系数法即可求得直线和抛物线的解析式；
（2）假设x=t时，线段MN的长度是否存在最大值，可得M（t，-

1

2

t+2），N（t，-t²+

7

2

t+2），则可得MN=（-t²+

7

2

t+2）-（-

1

2

t+2）=-t²+4t=-（t-2）²+4，然后由二次函数的最值问题，求得答案；
（3）根据平行四边形的性质求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵直线y=kx+b分别交y轴、x 轴于A（0、2）、B（4、0））两点，
∴

b=2 4k+b=0

，
解得：

b=2 k=- 1 2

．
∴直线为：y=-

1

2

x+2，…（3分）
将x=0，y=2代入y=-x²+bx+c得：c=2，…（4分）
将x=4，y=0代入y=-x²+bx+2，
得：0=-16+4b+2，
解得：b=

7

2

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+

7

2

x+2；…（6分）

（2）存在．
假设x=t时，线段MN的长度是否存在最大值，
由题意易得：M（t，-

1

2

t+2），N（t，-t²+

7

2

t+2），…（8分）
∴MN=（-t²+

7

2

t+2）-（-

1

2

t+2）=-t²+4t=-（t-2）²+4，…（10分）
∴当t=2时，MN有最大值4；…6 分

（3）由题意可知，D的可能位置有如图三种情形．…（11分）
当D在y轴上时，
设D的坐标为（0，a）
由AD=MN得|a-2|=4，
解得a₁=6，a₂=-2，
∴D为（0，6）或D（0，-2）；…（13分）
当D不在y轴上时，由图可知D为D₁N与D₂M的交点，
∵直线D₁N的解析式为：y=-

1

2

x+6，直线D₂M的解析式为：y=

3

2

x-2，
由两方程联立解得D为（4，4）．…（14分）
综上可得：所求的D为（0，6），（0，-2）或（4，4）．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题以及平行四边形的性质等知识．此题难度较大，综合性强，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．