Question

如图,是⊙的直径,、在⊙上,连结,过作∥交于,交⊙于,交于点,且．

（1）判断直线与⊙的位置关系,并说明理由;
（2）若⊙的半径为,,,求的长．

Answer 1

（1）直线BP和⊙O相切,理由见解析;（2）BP的长为2．

试题分析：（1）连接BC,求出∠ACB=90°,根据PF∥AC,推出BC⊥PF,求出∠PBC+∠BPF=90°,求出∠PBC+∠ABC=90°,根据切线的判定推出即可;
（2）根据勾股定理求出BC,证△ABC和△BEP相似,得出比例式,即可求出BP．
试题解析：（1）直线BP和⊙O相切,
理由：连接BC,

∵AB是⊙O直径,
∴∠ACB=90°,
∵PF∥AC,
∴BC⊥PF,
则∠PBC+∠BPF=90°,
∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,
∴∠BPF=∠ABC,
∴∠PBC+∠ABC=90°,
即∠PBA=90°,
∴PB⊥AB,
∵AB是直径,
∴直线BP和⊙O相切;
（2）由已知,得∠ACB=90°,
∵AC=2,AB=2,
∴由勾股定理得：BC=4,
∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,
∴∠BPF=∠ABC,
由（1）,得∠ABP=∠ACB=90°,
∴△ACB∽△EBP,
∴,
解得BP=2,
即BP的长为2．