Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），P是第一象限内任意一点，连接PO，PA，若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，则我们把（m°，n°）叫做点P 的“双角坐标”．例如，点（1，1）的“双角坐标”为（45°，90°）．

（1）点（）的“双角坐标”为_____；

（2）若点P到x轴的距离为，则m+n的最小值为_____．

Answer 1

【答案】（60°，60°） 90

【解析】

（1）分别求出tan∠POA、tan∠PAO即可得∠POA、∠PAO的度数，从而得出答案；

（2）根据三角形内角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，则∠OPA需取得最大值，OA中点为圆心，为半径画圆，与直线y＝相切于点P，由∠OPA＝∠1＞∠OP′A知此时∠OPA最大，∠OPA＝90°，即可得出答案．

解：（1）∵P（，），OA＝1，

∴tan∠POA＝ ＝，tan∠PAO＝＝，

∴∠POA＝60°，∠PAO＝60°，

即点P的“双角坐标”为（60°，60°），

故答案为：（60°，60°）；

（2）根据三角形内角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，

则∠OPA需取得最大值，

如图，

∵点P到x轴的距离为，OA＝1，

∴OA中点为圆心，为半径画圆，与直线y＝相切于点P，

在直线y＝上任取一点P′，连接P′O、P′A，P′O交圆于点Q，

∵∠OPA＝∠1＞∠OP′A，

此时∠OPA最大，∠OPA＝90°，

∴m+n的最小值为90，

故答案为：90．