Question

附加题：在公式（a+1）²=a²+2a+1中，当a分别取1，2，3…，n时，可取下列n个等式：（1+1）²=1²+2×1+1（2+1）²=2²+2×2+1（3+1）²=3²+2×3+1
…（n+1）²=n²+2n+1
（1）猜想：1+2+3+4+…+n=

 

；（用含有n的代数式表示）
（2）试证明你的猜想结果．

Answer 1

分析：列出从1到n+1的平方公式的展开式，然后令等式两边向加，对于等式的右边中间项为2（1+2+3+…+n），把此项当成未知项，求解方程即可得到（1+2+3+…+n）的表达式．

解答：解：（1）猜想：1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

．

（2）证明：
（1+1）²=1²+2×1+1
（2+1）²=2²+2×2+1
（3+1）²=3²+2×3+1
…（n+1）²=n²+2n+1
等式左边的和等于右边的和：2²+3²+4²+…n²+（n+1）²=1²+2²+3²+…n²+2（1+2+3+…+n）+n
化简得：（n+1）²=1+2（1+2+…+n）+n则1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．

点评：本题关键在于从题干信息中找到1+2+…+n，要想得到此项则可让1到n+1的平方公式等号左右两边的数分别相加．然后化简即可得到1+2+…+n的表达式．