Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P在边AD上以每秒2个单位的速度从A出发，沿AD向D运动，同时动点Q在边BD上以每秒5个单位的速度从D出发，沿DB向B运动，当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒．

（1）填空：当某一时刻t，使得t＝1时，P、Q两点间的距离PQ＝　 　；

（2）是否存在以P、D、Q中一点为圆心的圆恰好过另外两个点？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，t的值为s或s或s．

【解析】

（1）根据矩形的性质得到∠BAD＝90°，根据勾股定理得到BD＝10，过Q作QE⊥AD于E，根据三角形的中位线的性质得到EQ＝AB＝3，PE＝2，根据勾股定理即可得到结论；

（2）由题意得到AP＝2t，DQ＝5t，PD＝8﹣2t，根据平行线分线段成比例定理得到QE＝3t，根据勾股定理得到PQ＝，当D是圆心时，PD＝DQ，当P是圆心时，PD＝PQ，当Q是圆心时，PQ＝DQ，列方程即可得到结论．

（1）∵t＝1，

∴AP＝2，DQ＝5，

∴PD＝6，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵AB＝6，BC＝8，

∴BD＝10，

∴Q为BD的中点，

过Q作QE⊥AD于E，

∴QE∥AB，

∴AE＝DE＝4，

∴EQ＝AB＝3，PE＝2，

∴PQ＝＝；

故答案为：；

（2）存在，

理由：∵AP＝2t，DQ＝5t，

∴PD＝8﹣2t，

由（1）知，QE∥AB，

∴，

∴，

∴QE＝3t，

∴DE＝4t，

∴PE＝8﹣6t，

∴PQ＝，

当D是圆心时，PD＝DQ，

∴8﹣2t＝5t，

解得：t＝；

当P是圆心时，PD＝PQ，

∴8﹣2t＝，

解得：t＝，或t＝0（舍去）；

当Q是圆心时，PQ＝DQ，

∴5t＝，

解得：t＝或t＝4（舍去），

综上所述：t的值为s或s或s．