Question

已知如图1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．
①图中有几个等腰三角形？请说明EF与BE、CF间有怎样的关系．

②若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
③若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？

Answer 1

（1）有5个等腰三角形，EF与BE、CF间有怎样的关系是：EF=BE+CF=2BE=2CF．理由如下：
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
又∠B、∠C的平分线交于O点，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，
∴OE=BE，OF=CF，
∴EF=OE+OF=BE+CF．
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC，
∴EF=BE+CF=2BE=2CF；

（2）有2个等腰三角形分别是：等腰△OBE和等腰△OCF；
第一问中的EF与BE，CF的关系是：EF=BE+CF．

（3）有，还是有2个等腰三角形，△EBO，△OCF，EF=BE-CF，理由如下：
∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCG（G是BC延长线上的一点）
又∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACG的角平分线
∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCG，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE，
∠FCO=∠FOC，
∴CF=FO，
又∵EO=EF+FO，
∴EF=BE-CF．