Question

11．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC，S_△PBC=4．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AC=BC结合CO⊥AB可得出OA=OB，由点P的坐标结合三角形的面积公式可得出OA=OB=4，即得出点A、点P的坐标，由点A、点P的坐标利用待定系数法即可得出一次函数的解析式，由点P的坐标利用待定系数法即可得出反比例函数的解析式；
（2）假设存在，过点C作x轴的平行线与双曲线交于点D，令一次函数解析式中x=0找出点C的坐标，将点C的纵坐标代入反比例函数解析式中即可得出点D的坐标，再结合点P、点B的坐标即可得出BP与CD互相垂直平分，由此可证得四边形BCPD为菱形．

解答 解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，
∴O为AB的中点，即OA=OB，
∵S_△PBC=4，即$\frac{1}{2}$OB×PB=4，
∵P（n，2），
∴PB=2，
∴OA=OB=4，
∴P（4，2），B（4，0），A（-4，0）．
将A（-4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴一次函数解析式为y=$\frac{1}{4}$x+1；
将P（4，2）代入反比例解析式得：2=$\frac{m}{4}$，解得：m=8，
∴反比例解析式为y=$\frac{8}{x}$．
（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形．
过点C作x轴的平行线与双曲线交于点D，如图所示．

令一次函数y=$\frac{1}{4}$x+1中x=0，则有y=1，
∴点C的坐标为（0，1），
∵CD∥x轴，
∴设点D坐标为（x，1）．
将点D（x，1）代入反比例解析式y=$\frac{8}{x}$中，得：1=$\frac{8}{x}$，
解得：x=8，
∴点D的坐标为（8，1），即CD=8．
∵P点横坐标为4，
∴BP与CD互相垂直平分，
∴四边形BCPD为菱形．
故反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时点D的坐标为（8，1）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及菱形的判定定理，解题的关键是：（1）求出点A、点P的坐标；（2）利用“对角线互相垂直平分”证出四边形为菱形．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式找出边的长度，再由边的长度找出点的坐标，最后由点的坐标利用待定系数法求出函数解析式即可．