Question

已知点M、N的坐标分别为（0，1）、（0，－1），点P是抛物线上的一个动点，过点N作平行于轴的直线。

（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线相切；

（2）设直线PM，NP与抛物线的另一个交点分别为点Q，R，求证：Q，R两点关于轴对称．

Answer 1

证明：（1）过点P作PA⊥，垂足为A，过点M作MB⊥PA，垂足为B

∵P点在抛物线上，

∴可设P点坐标为（，）        

∵N（0，－1），∥轴

∴A（，－1）

∴PA=                                         

∴M（0，1）

∴B（，1）

∴PB=

∴ 

PA=PM

∴以点P为圆心，PM为半径的圆与直线相切    

（2）设过点M的直线PQ的解析式为，P点坐标为（，），Q点坐标为（，）

∴，    

∴

∴

∵

∴                  

设直线PN的解析式为，

PN与抛物线的另一交点为R（，）

同理，可求得                 

∴                                               

∵抛物线关于轴对称

∴点Q与R关于轴对称.