【题目】(问题探究)小敏在学习了Rt△ABC的性质定理后,继续进行研究.
(1)(i)她发现图①中,如果∠A=30°,BC与AB存在特殊的数量关系是 ;
(ii)她将△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC,如图②,此时她证明了BC和AB的关系;请根据小敏证明的思路,补全探究的证明过程;
猜想:如果∠A=30°,BC与AB存在特殊的数量关系是 ;
证明:△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC,
(2)如图③,点E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上,且∠B=∠D=90°,连接AE、AF、EF,将△ABE、△ADF折叠,折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形,连接AC,若∠EAF=30°,AB2=27,则△CEF的周长为 .
【答案】(1)(i)BC=AB;(ii)BC=AB;(2)6
【解析】
(1)(i)在AB上截取BD=BC,可证△BCD是等边三角形,CD=BD,∠BDC=∠BCD=60°,可得BD=AD=CD=BC,可得结论;
(ii)由折叠的性质可得AB=AH,∠BAC=∠HAC=30°,BC=CH,可证△ABH是等边三角形,可得AB=BH=2BC;
(2)由折叠的性质可得AB=AD,BE+DF=EF,∠BAD=2∠EAF=60°,由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC,可得∠BAC=∠DAC=30°,BC=CD,由直角三角形的性质可求BC=3,即可求解.
解:(1)(i)BC=AB,
理由如下:在AB上截取BD=BC,
∵∠A=30°,∠ACB=90°,
∴∠B=60°,且BD=BC,
∴△BCD是等边三角形,
∴CD=BD,∠BDC=∠BCD=60°,
∴∠ACD=30°=∠A,
∴AD=CD,
∴BD=AD=BC,
∴BC=AB;
(ii)∵将△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC,
∴△ABC≌△AHC,
∴AB=AH,∠BAC=∠HAC=30°,BC=CH,
∴∠BAH=60°,且AB=AH,
∴△ABH是等边三角形,
∴AB=BH,
∴BC=BH=AB;
(2)∵将△ABE、△ADF折叠,折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形,
∴AB=AD,BE+DF=EF,∠BAD=2∠EAF=60°,
∵AB=AD,AC=AC,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),
∴∠BAC=∠DAC=30°,BC=CD,
∵AB2=27,
∴AB=3,
∵tan∠BAC=,
∴BC=3=CD,
∴△CEF的周长=EC+CF+EF=EC+CF+BE+DF=BC+CD=6.
故答案为:6.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,将绕点顺时针旋转到的位置,点、分别落在点、处,点在轴上,再将绕点顺时针旋转到的位置,点在轴上,将绕点顺时针旋转到的位置,点在轴上,依次进行下去….若点,,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
【题目】小泽和小帅两同学分别从甲地出发,骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动.如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y(单位:千米)与时间x(单位:小时)之间函数关系的图象.根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)小帅的骑车速度为 千米/小时;点C的坐标为 ;
(2)求线段AB对应的函数表达式;
(3)当小帅到达乙地时,小泽距乙地还有多远?
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【题目】如图,在等边△ABC中,DE分别是边AB、AC上的点,且AD=CE,则∠ADC+∠BEA=( )
A.180°B.170°C.160°D.150°
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【题目】如图,在8×8的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,已知△ABC的三个顶点在格点上.
(1)画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;
(2)在直线l上找一点P,使PA+PB的长最短;(不写作法,保留作图痕迹)
(3)△ABC 直角三角形(填“是”或“不是”),并说明理由.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证:(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.
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【题目】操作发现:如图1,D是等边△ABC边BA上的一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF,易证AF=BD(不需要证明);
类比猜想:①如图2,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其它作法与图1相同,猜想AF与BD在图1中的结论是否仍然成立。
深入探究:②如图3,当动点D在等边△ABC边BA上的一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′,连接AF,BF′你能发现AF,BF′与AB有何数量关系,并证明你发现的结论。
③如图4,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其它作法与图3相同,猜想AF,BF′与AB在上题②中的结论是否仍然成立,若不成立,请给出你的结论并证明。
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【题目】已知,如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点A、C的坐标分别为A(﹣3,0),C(1,0),tan∠BAC=.
(1)求点B的坐标;
(2)在x轴上找一点D,连接BD使得△ABD与△ABC相似(不包括全等),并求点D的坐标.
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【题目】如图,∠AOB = 30°,点P是∠AOB内任意一点,且OP = 7,点E和点F分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PEF周长的最小值是______.
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