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10.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=-x+m与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于点A(1,3a),B(3,a).
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)P为x轴上的动点,当PA+PB的值最小时,求△PAB的面积.

分析 (1)把点A(1,3a),B(3,a)代入y=-x+m得出方程组,求出a和m的值,即可得出两个函数解析式;
(2)作点B关于x轴的对称点B′(3,-1),连接AB′交x轴于P,与待定系数法求出直线AP的解析式,求出点P的坐标,由梯形的面积减去两个直角三角形的面积即可得出△PAB的面积.

解答 解:(1)把点A(1,3a),B(3,a)代入y=-x+m得:$\left\{\begin{array}{l}{-1+m=3a}\\{-3+m=a}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{m=4}\end{array}\right.$,
∴一次函数解析式为y=-x+4,A(1,3),B(3,1),
∴k=1×3=3,∴反比例函数解析式为y=$\frac{3}{x}$.
(2)作点B关于x轴的对称点B′(3,-1),连接AB′交x轴于P,如图所示,
设直线AP的解析式为y=kx+b,
把点A和点B′的坐标代入得;$\left\{\begin{array}{l}{k+b=3}\\{3k+b=-1}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=5}\end{array}\right.$,
∴直线AP的解析式为y=-2x+5,
∵当y=0时,x=2.5,
∴P(2.5,0),
作AM⊥x轴于M,如图所示:
则△PAB的面积=$\frac{1}{2}$(3+1)×2-$\frac{1}{2}$×1.5×3-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1=1.5.

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、轴对称-最短路线问题;熟练掌握待定系数法求直线解析式是解决问题的关键.

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