Question

7．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（6，0），B（0，3）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若S_矩形OECD=2，求点C的坐标；
（3）在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法直接得出结论；
（2）设出点C坐标，利用矩形的面积建立方程求出点C的坐标；
（3）因为∠AOB=90°，所以以P、O、B为顶点的三角形与△OBA相似需分三种情况进行讨论：①当∠OBP=90°时，又分△BPO∽△OAB；△BOP∽△OAB；②当∠OPB=90°时，过点O作OP⊥BA于点P，过点P作PM⊥OA于点M．又分△PBO∽△OBA；△POB∽△OBA；③当∠POB=90°时，点P在x轴上，不符合要求

解答 解：（1）∵直线AB与x轴，y轴分别交于A（6，0），B（0，3），
∴设直线AB解析式为y=kx+3，
∴6k+3=0，
∴k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3；
（2）∵过点C作CD⊥x轴于点D，设点C（m，-$\frac{1}{2}$m+3）（0≤m≤6），
∵S_矩形OECD=CD×CE=|m|×|-$\frac{1}{2}$m+3|=2，
∴m=3-$\sqrt{13}$或m=3+$\sqrt{13}$（舍）或m=3-$\sqrt{5}$，m=3+$\sqrt{5}$，
当m=3-$\sqrt{13}$时，-$\frac{1}{2}$m+3=$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，
∴C（3-$\sqrt{13}$，$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$），
当m=3+$\sqrt{5}$时，-$\frac{1}{2}$m+3=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴C（3+$\sqrt{5}$，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$），
当m=3-$\sqrt{5}$时，-$\frac{1}{2}$m+3=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
∴C（3-$\sqrt{5}$，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）；
（3）∵A（6，0），B（0，3），
∴OA=6，OB=3，∴AB=3$\sqrt{5}$
以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似时，分三种情况：
①当∠OBP=90°时，如图1．
若△BPO∽△OAB，则$\frac{BP}{OA}=\frac{OB}{OB}$，
∴BP=OA=6，
∴P₁（6，3）；
若△BOP∽△OAB，则$\frac{BP}{OB}=\frac{OB}{OA}$，即$\frac{BP}{3}=\frac{3}{6}$，
∴BP=$\frac{3}{2}$，
∴P₂（$\frac{3}{2}$，3）；
②当∠OPB=90°时，如图2．
过点O作OP⊥BA于点P，过点P作PM⊥OA于点M．
若△PBO∽△OBA，则$\frac{BP}{OB}=\frac{OP}{OA}=\frac{OB}{AB}$，即$\frac{BP}{3}=\frac{OP}{6}=\frac{3}{3\sqrt{5}}$，
∴BP=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，OP=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
∵在△PMO与△AOB中，
∠OPM=∠BAO，∠OMP=∠BOA=90°，
∴△PMO∽△AOB，
∴$\frac{OM}{OB}=\frac{PM}{OA}=\frac{OP}{AB}$，即$\frac{OM}{3}=\frac{PM}{6}=\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}}{3\sqrt{5}}$，
∴OM=$\frac{6}{5}$，PM=$\frac{12}{5}$，
∴P₃（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$）；
若△POB∽△OBA，则∠OBP=∠BAO．
∵∠POM=∠OBP=90°-∠BOP，
∴∠POM=∠BAO，
又∠OMP=∠AOB=90°，
∴△OMP∽△AOB，
∴$\frac{PM}{OB}=\frac{OM}{OA}$，即$\frac{PM}{3}=\frac{\frac{6}{5}}{6}$，
∴PM=$\frac{3}{5}$，
∴P₄（$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{5}$）；
③当∠POB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．
综合所述，符合条件的点有四个，分别是P₁（6，3）；P₂（$\frac{3}{2}$，3）；P₃（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$）；P₄（$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{5}$）．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定与性质，难度适中．运用分类讨论、数形结合、方程思想是解题的关键．