Question

13．如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上的一个动点，∠BAC的角平分线交圆弧于点D，半圆O在点D处的切线与直线AC交于点E．
（1）求证：△ADE∽△ABD；
（2）填空：①若ED：DB=$\sqrt{3}$：2，则AE：AB=3：4；
②连接OC、CD，当∠BAC的度数为60°时，四边形BDCO是菱形．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE，根据角平分线的定义和已知以及平行线的判定得到OD∥AE，得到∠E=90°，根据相似三角形的判定定理证明；
（2）作DG⊥AB于G，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△ADE与△ABD的面积比，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）根据菱形的判定定理和等边三角形的性质解答即可．

解答 （1）证明：如图1，连接OD，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠EAD=∠DAB，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠E=90°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠EAD=∠DAB，∠E=∠ADB，
∴△ADE∽△ABD；
（2）①如图2，作DG⊥AB于G，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠E=90°，DG⊥AB，
∴DE=DG，
∵△ADE∽△ABD，ED：DB=$\sqrt{3}$：2，
∴△ADE与△ABD的面积比为3：4，即$\frac{\frac{1}{2}×AE×DE}{\frac{1}{2}×AB×DG}$=$\frac{3}{4}$，
∴AE：AB=3：4；
②如图3，当四边形BDCO是菱形时，
∴BD=OC，CD∥OB，
当CD∥OB时，BD=AC，
则△AOC为等边三角形，
故∠BAC=60°时，四边形BDCO是菱形．
故答案为：①3：4；②60°．

点评 本题考查的是圆的切线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质以及菱形的判定，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．