Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．

（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若tan∠ACB=，BC=4，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）直线CE与⊙O相切，理由详见解析；（2）

【解析】

（1）连接OE，由四边形ABCD是矩形，得到∠3=∠1，∠2+∠5=90°，而OA=OE，∠1=∠2，所以∠3=∠4，∠4=∠2，故∠4+∠5=90°得到∠OEC=90°，根据切线的判定定理即得到CE是⊙O的切线；

（2）作OG⊥AE交线段AE于G点，根据tan∠ACB=先求出AB的长度和DE的长度，然后分别求出AG和OG的长度，利用勾股定理求出OA的长度即可解答.

（1）直线CE与⊙O相切．

证明：如图，连接OE，

∵ 矩形ABCD中，BC∥AD， ∴ ∠1=∠3．

又∠1=∠2， ∴ ∠2=∠3．

则∠3=∠4．

∴ ∠2=∠4．

∵ ∠2+∠5=90°， ∴ ∠4+∠5=90°．

∴ ∠OEC=90°，即OE⊥CE， ∴ 直线CE与⊙O相切．

（2）解：∵ tan ∠ACB==， BC=4．

∴ AB=BC·tan ∠ACB=2．

又 ∠1=∠2．

∴ DE=DC·tan ∠DCE= DC·tan ∠ACB= 1．

过点O作OG⊥AE于点G，则 AG=AE=．

∵ OG=AG·tan∠DAC= AG·tan∠ACB =×=，

∴ OA===．