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13.如图,经过点A(0,-6)的抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴相交于B(-2,0),C两点,点P是AC上的一动点,过点P作PD∥y轴,与抛物线交于点D.
(1)求此抛物线的函数关系式;
(2)是否存在这样的P点,使线段PD的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;
(3)连接AD,求△PAD为直角三角形时点P的坐标.

分析 (1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式,解方程组得到b、c的值,即可得解;
(2)求出点C的坐标,再利用待定系数法求出直线AC的解析式,再根据抛物线解析式设出点P的坐标,然后表示出PD的长度,再根据二次函数的最值问题解答;
(3)①∠APD是直角时,点P与点B重合,②求出抛物线顶点坐标,然后判断出点P为在抛物线顶点时,∠PAD是直角,分别写出点P的坐标即可;

解答 解:(1)根据题意得,$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{2-2b+c=0}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-6}\end{array}\right.$,
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-2x-6,
(2)∵抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-2x-6,
∴C(6,0)
∵A(0,-6),
∴直线AC解析式为y=x-6,
设P(t,t-6),
∴D(t,$\frac{1}{2}$t2-2t-6),
∴PD=|$\frac{1}{2}$t2-2t-6-(t-6)|=|$\frac{1}{2}$t2-3t|=|$\frac{1}{2}$(t-3)2-$\frac{9}{2}$|=-$\frac{1}{2}$(t-3)2+$\frac{9}{2}$,
当t=3时,PD最大值=$\frac{9}{2}$;
(3)设P(t,t-6),
∴D(t,$\frac{1}{2}$t2-2t-6),
∵PD∥y轴,
∴CD∥x轴时,∠ADP=90°,
∴-6=$\frac{1}{2}$t2-2t-6,
∴t=0(舍)或t=4;
∴P(4,-2);
∵抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-2x-6=$\frac{1}{2}$(x-2)2-8,
∴抛物线的顶点坐标为D(2,-8),
∴P(2,-4),
∵A(0,-6)
∴AD2=4+4=8,PD2=42=16,PA2=4+4=8,
∴AD2+PA2=PD2
∴△PAD为直角三角形,
∴P(2,-4).
即:△PAD为直角三角形时点P的坐标为(2,-4),(4,-2).

点评 本题是二次函数综合题型,主要利用了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的最值问题,二次函数的对称性以及顶点坐标的求解,(2)整理出PD的表达式是解题的关键,(3)关键在于利用点的坐标特征作出判断.

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