Question

如图，抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．若抛物线y=x²-2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为

 

．

Answer 1

分析：由于抛物线y=x²-2x+k与y轴交于点C（0，-3），代入解析式中即可求出k，而△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，所以有两种情况：
①若QC⊥BC与C，设经过C点和Q点的直线可以表示为y=mx-3，而直线BC的解析式利用待定系数法可以求出，然后利用QC⊥BC与C可以求出m，联立直线CB、CQ的解析式组成方程组即可求出交点Q的坐标；
②若点B为直角定点，那么利用同样的方法也可以求出Q的坐标．

解答：解：∵抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．
∴y=x²-2x-3，B点坐标为（3，0），
假设存在一点Q，则QC⊥BC与C，
设经过C点和Q点的直线可以表示为：y=mx-3，
而直线BC可以表示为：y=x-3，
∵QC⊥BC，
∴m=-1
∴直线CQ解析式为：y=-x-3，
联立方程组：

y=-x-3 y=x2-2x-3

，
解得x=0或者x=1，
舍去x=0（与点C重合，应舍去）的解，
从而可得点Q为（1，-4）；
同理如果点B为直角定点，同样得到两点（3，0）（同理舍去）和（-2，5），
从而可得：点Q的坐标为：（1，-4）和（-2，5）．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点，也利用了待定系数法求直线的解析式，解题的关键是利用直线解析式组成方程组求出Q的坐标．