Question

【题目】如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别与⊙O相切于点A，B，CD与⊙O相切于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OE、OC，已知AD＝2，BC＝4，对于下列结论：①AD+BC＝CD：②∠DOC＝90°；③S梯形ABCD＝CDOA：④OA＝2．其中结论正确的有_____．（请把正确的结论的序号填在横线上）

Answer 1

【答案】①②

【解析】

连接OE，利用切线长定理得到AD=ED，CE=CB，且OD、OC分别为角平分线，利用平角的定义及等式性质得到∠COD为直角，进而确定出三角形ODE与三角形COD相似，由相似得比例列出关系式，可求OA的长，根据CD=DE+EC，等量代换得到AD+BC=CD，由梯形的面积公式可得S梯形ABCD＝AB（AD+BC）＝ABCD，即可得到正确的选项；

解：∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，

∴∠DAO＝∠DEO＝∠OBC＝90°，DA＝DE＝2，CE＝CB＝4，

∴AD∥BC，

∴CD＝DE+EC＝AD+BC，选项①正确；

在Rt△ADO和Rt△EDO中，

，

∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），

∴∠AOD＝∠EOD，

同理Rt△CEO≌Rt△CBO，

∴∠EOC＝∠BOC，

又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB＝180°，

∴2（∠DOE+∠EOC）＝180°，即∠DOC＝90°，选项②正确；

∴∠DOC＝∠DEO＝90°，又∠EDO＝∠ODC，

∴△EDO∽△ODC，

∴，即OE2＝DEEC＝8，

∴OE＝，

∴OA＝OE＝，选项④错误；

而S梯形ABCD＝AB（AD+BC）＝ABCD，选项③错误；

则正确的选项有①②．

故答案为：①②.