分析 (1)根据抛物线的顶点解析式y=-(x+1)2+4,即可求出抛物线顶点D的坐标是(-1,4);
(2)先根据抛物线的解析式y=-(x+1)2+4,求出A、C两点的坐标,再利用待定系数法求出直线AC的解析式,根据关于y轴对称的点的坐标特征得出D1(1,4),然后代入直线AC的解析式即可判断点D1在直线AC上;
(3)设点E(x,-x2-2x+3),则F(x,x+3),求出EF=(-x2-2x+3)-(x+3)=-x2-3x,利用配方法化成顶点式,根据二次函数的性质即可求出最大值.
解答 解:(1)∵y=-(x+1)2+4,
∴抛物线顶点D的坐标是(-1,4).
故答案为(-1,4);
(2)点D1在直线AC上,理由如下:
∵抛物线y=-(x+1)2+4与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,
∴当y=0时,-(x+1)2+4=0,解得x=1或-3,A(-3,0),B(1,0),
当x=0时,y=-1+4=3,C(0,3).
设直线AC的解析式为y=kx+b,
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$,
∴直线AC的解析式为y=x+3.
∵点D1是点D关于y轴的对称点,D(-1,4).
∴D1(1,4),
∵x=1时,y=1+3=4,
∴点D1在直线AC上;
(3)设点E(x,-x2-2x+3),则F(x,x+3),
∵EF=(-x2-2x+3)-(x+3)=-x2-3x=-(x+1.5)2+2.25,
∴线段EF的最大值是2.25.
点评 本题是二次函数的综合题,其中涉及到二次函数的性质,利用待定系数法求直线的解析式,函数图象上点的坐标特征等知识,难度适中.
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