Question

8．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点B（6，0），交y轴于点C（0，6），直线AB与直线OA：y=$\frac{1}{2}$x相交于点A，动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．
（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的$\frac{1}{4}$？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由B、C坐标，根据待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）联立直线AB和直线OA解析式可求得A点坐标，则可求得△OAC的面积；
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的$\frac{1}{4}$时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．

解答 解：（1）设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+6；
（2）联立直线OA和直线AB的解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴A（4，2），
∴S_△OAC=$\frac{1}{2}$×6×4=12；
（3）由题意可知S_△OMC=$\frac{1}{4}$S_△OAC=$\frac{1}{4}$×12=3，
设M点的横坐标为t，则有S_△OMC=$\frac{1}{2}$×OC•|t|=3|t|，
∴3|t|=3，解得t=1或t=-1，
当点t=-1时，可知点M在线段AC的延长线上，
∴y=-（-1）+6=7，此时M点坐标为（-1，7）；
当点t=1时，可知点M在线段OA或线段AC上，
在y=$\frac{1}{2}$x中，x=1可得y=$\frac{1}{2}$，代入y=-x+6可得y=5，
∴M的坐标是（1，$\frac{1}{2}$）；
在y=-x+6中，x=1则y=5，
∴M的坐标是（1，5）；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（1，$\frac{1}{2}$）或（1，5）或（-1，7）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中求得A点坐标是解题的关键，在（3）中求得M点的横坐标是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．