Question

【题目】（问题背景）

在平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，AD=nAB，现将一块含60°的直角三角板（如图）放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，其60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB、AD于点E、F（不包括线段的端点）．

（发现）

如图1，当n=1时，易证得AE+AF=AC；

（类比）

如图2，过点C作CH⊥AD于点H，

（1）当n=2时，求证：AE=2FH；

（2）当n=3时，试探究AE+3AF与AC之间的等量关系式；

（延伸）

将60°角的顶点移动到平行四边形ABCD对角线AC上的任意点Q，其余条件均不变，试探究：AE、AF、AQ之间的等量关系式（请直接写出结论）．

Answer 1

【答案】【发现】：见解析；【类比】：（1）见解析；（2）；【延伸】.

【解析】

发现：先证明是等边三角形，再证明≌（ASA），可得，根据线段的和可得结论；

类比：（1）如图2，设由题意得： 根据勾股定理的逆定理得：则证明∽，列比例式根据，可得

（2）如图3，作辅助线，构建直角三角形，先证明∽，得根据面积法 得所以设则分别求的长，代入计算 的值即可；

延伸:如图4，作辅助线，构建新的则同理根据面积法得： 设则分别求 及AQ和的长，相比可得结论．

如图1，

当n=1时，AD=AB，

∴ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=120°，

∴∠D=∠B=60°，

∴△ABC、△ACD都是等边三角形，

∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，

∵∠ECF=60°，

∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，

∴∠BCE=∠ACF，

在△BCE和△ACF中，

∵ ，

∴△BCE≌△ACF（ASA），

∴BE=AF，

∴

【类比】

：（1）如图2，

当n=2时，

设，由题意得：

∴

∴

∵

由勾股定理得：

∴

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

（2）如图3，当n=3时，

过C作CN⊥AD于N，过C作CM⊥AB于M，交AD于H，

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴

∵

设 则

∵

∴

∴

∴

∴

∴

∴

【延伸】

如图4，

过Q作QG∥AD，作QH∥AB，则四边形AGQH是平行四边形，且AH=nAG，

过C作CN⊥AD于N，过C作CM⊥AB于M，交AD于P，

同理可得：

∴

∵

∴

∴

∵

设 则

∵

∴

∴

∴

∴

∴