Question

17．如图所示，M为⊙0内任一不与点O重合的点，连接0M，AB为过M点且与0M垂直的一条弦，EF为过M点的一条直径，求证：在过M点的所有弦中，AB是最短的一条，EF是最长的一条．

Answer 1

分析 直接根据垂线段最短即可得出AB是最短的一条；过点M作弦CD，连接OC，OD，根据三角形的三边关系可得出EF是最长的一条弦．

解答 证明：∵EF⊥AB，
∴OM是点O到弦AB的最短距离，
∴在过M点的所有弦中，AB是最短的一条；
过点M作弦CD，连接OC，OD，
∴OC+OD＞CD，OC+OD=EF，
∴EF＞CD，即在过M点的所有弦中，EF是最长的一条．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．