Question

如图，已知矩形ABCD和点P，当点P在边BC上任一位置（如图①所示）时，易证得结论：PA²+PC²=PB²+PD²．
以下请你探究：当P点分别在图②、图③中的位置时，即P在矩形ABCD的内部和外部时，线段PA²，PB²，PC²，PD²又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并证明图②（P在矩形ABCD的内部）的结论．

答：对图②的探究结论为

PA²+PC²=PB²+PD²

，对图③的探究结论为

PA²+PC²=PB²+PD²

．

Answer 1

分析：图②中，过点P作EF∥AB，作MN∥BC，把矩形ABCD分成四个小矩形，然后分别表示出PA、PB、PC、PD的平方，根据平方关系即可得解；
图③中，过点P作PF∥AB交AD于点E，EF把矩形ABCD分成两个矩形，然后分别表示出PA、PB、PC、PD的平方，根据平方关系即可得解．

解答：
解：图②，过点P作EF∥AB，作MN∥BC，
则四边形AMPE，四边形BFPM，四边形FCNP，四边形NDEP都是矩形，
根据勾股定理得，PA²=AE²+PE²，
PB²=BF²+PF²，
PC²=FC²+PF²，
PD²=DE²+PE²，
∵AE=BF，DE=FC，
∴（AE²+PE²）+（FC²+PF²）=（BF²+PF²）+（DE²+PE²），
即PA²+PC²=PB²+PD²；

图③，过点P作PF∥AB交AD于点E，则四边形ABEF，四边形FCDE都是矩形，
根据勾股定理得，PA²=AE²+PE²，PB²=BF²+PF²，PC²=FC²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∵AE=BF，DE=FC，
∴（AE²+PE²）+（FC²+PF²）=（BF²+PF²）+（DE²+PE²），
即PA²+PC²=PB²+PD²．
故答案为：对图②的探究结论为：PA²+PC²=PB²+PD²，对图③的探究结论为：PA²+PC²=PB²+PD²．

点评：本题考查了矩形的对边平行且相等的性质，勾股定理的运用，读懂题目信息，根据题目提供的信息找出思路，然后作出辅助线是解题的关键．