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(2007•天水)如图1,已知点A1,A2,A3是抛物线y=x2上的三点,线段A1B1,A2B2,A3B3都垂直于x轴,垂足分别为点B1,B2,B3,延长线段B2A2交线段A1A3于点C.
(1)在图(1)中,若点A1,A2,A3的横坐标依次为1,2,3,求线段CA2的长;
(2)若将抛物线改为y=x2-x+1,如图2,点A1,A2,A3的横坐标依次为三个连续整数,其他条件不变,求线段CA2的长.

【答案】分析:(1)已知了A1,A2,A3三点的横坐标,可代入抛物线的解析式中求出A1B1,A2B2,A3B3的长,由于A1,A2,A3的横坐标是连续的三个整数,那么可用中位线定理来求出CB2的长,由此可根据CA2=CB2-A2B2,求出CA2的长.
(2)可先设出A1,A2,A3的横坐标依,由于这三个横坐标也是连续的整数,因此可按照(1)的方法进行求解.
解答:解:(1)∵点A1,A2,A3的横坐标依次为1,2,3,
∴A1B1=×1=,A2B2=×4=2,A3B3=×9=
由于A1B1∥A2B2∥A3B3,且B1B2=B2B3
∴CB2=(A1B1+A3B3)=
∴CA2=CB2-A2B2=-2=

(2)设:点A1,A2,A3的横坐标依次为n-1,n,n+1,
∴A1B1=(n-1)2-(n-1)+1,A2B2=n2-n+1,A3B3=(n+1)2-(n+1)+1;
由于A1B1∥A2B2∥A3B3,且B1B2=B2B3
∴CB2=(A1B1+A3B3)=[(n-1)2-(n-1)+1+(n+1)2-(n+1)+1]=n2-n+
∴CA2=CB2-A2B2=n2-n+-(n2-n+1)=
点评:本题考查了中位线定理,二次函数的应用等知识点,属于猜想类试题,解法不唯一,例如本题求CA2长还可以用B2点处两函数的差来求.
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