Question

已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）。设CP=x，
DE=y。
（1）写出y与x之间的函数关系式（     ） ；
（2）若点E与点A重合，则x的值为（     ）；
（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1 ）∵PE ⊥PM ，
∴∠EPM=90 °，
∴∠DPE+ ∠CPM=90 °，
又矩形ABCD ，
∴∠D=90 °，
∴∠DPE+ ∠DEP=90 °，
∴∠CPM= ∠DEP ，
又∠C= ∠D=90 °，
∴△CPM ∽△DEP ，
∴，
又CP=x ，DE=y ，AB=DC=4 ，
∴DP=4-x ，
又M 为BC 中点，BC=2 ，
∴CM=1 ，
∴，
则y=-x²+4x ；
（2 ）当E 与A 重合时，DE=AD=2 ，
∵△CPM ∽△DEP ，
∴，
又CP=x ，DE=2 ，CM=1 ，DP=4-x ，
∴，即x²-4x+2=0 ，
解得：x=2+或x=2-，
则x 的值为2+或2-；
（3 ）存在，过P 作PH ⊥AB 于点H，
 
∵点D 关于直线PE 的对称点D ′落在边AB 上，
∴PD ′=PD=4-x ，ED ′=ED=y=-x2+4x ，EA=AD-ED=x2-4x+2 ，∠PD ′E= ∠D=90 °，
在Rt △D ′PH 中，PH=2 ，D ′P=DP=4-x ，
根据勾股定理得：D ′H=，
∵∠ED ′A=180 °-90 °- ∠PD ′H=90 °- ∠PD ′H= ∠D ′PH ，∠PD ′E= ∠PHD ′=90 °，
∴△ED ′A ∽△D ′PH ，
∴，
即，
整理得：2x²-4x+1=0 ，
解得：x=，
当x=或x=时，
此时E 在DA 上或延长线上，符合题意，
则x=或x=时，点D 关于直线PE 的对称点D ′落在边AB 上
故答案为：（1）y=-x²+4x ；（2）2+或2-