Question

6．如图，已知抛物线y=-x²+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y=-$\frac{3}{2}$x+3交于C、D两点．连接BD、AD．
（1）求m的值．
（2）抛物线上有一点P，满足S_△ABP=4S_△ABD，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用方程组首先求出点D坐标．由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可；

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+mx+3过（3，0），
∴0=-9+3m+3，
∴m=2
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=-x2+2x+3\\ y=-\frac{3}{2}x+3\end{array}$，得$\left\{\begin{array}{l}x1=0\\ y1=3\end{array}$，$\left\{\begin{array}{l}x2=\frac{7}{2}\\ y2=-\frac{9}{4}\end{array}$，
∴D（$\frac{7}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
∵S_△ABP=4S_△ABD，
∴$\frac{1}{2}$AB×|y_P|=4×$\frac{1}{2}$AB×$\frac{9}{4}$，
∴|y_P|=9，y_P=±9，
当y=9时，-x²+2x+3=9，无实数解，
当y=-9时，-x²+2x+3=-9，x₁=1+$\sqrt{13}$，x₂=1-$\sqrt{13}$，
∴P（1+$\sqrt{13}$，-9）或P（1-$\sqrt{13}$，-9）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．