Question

如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y．

（1）求y与x的函数关系式；
（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；
（3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．

Answer 1

（1）
（2）0＜
（3）BP的长为或2

分析：（1）证明△ABP∽△PCE，利用比例线段关系求出y与x的函数关系式。
（2）根据（1）中求出的y与x的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围。
（3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出BP的长度。
解：（1）∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°，∴∠APB=∠CEP。
又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCE。
∴，即。
∴y与x的函数关系式为。
（2）∵，
∴当x=时，y取得最大值，最大值为。
∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，
∴，解得。
∵m＞0，∴m的取值范围为：0＜。
（3）由折叠可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE，
又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°，
∴∠APG=∠APB。
∵∠BAG=90°，∴AG∥BC。∴∠GAP=∠APB。
∴∠GAP=∠APG。∴AG=PG=PC。
如图，分别延长CE、AG，交于点H，

则易知ABCH为矩形，HE=CH﹣CE=2﹣y，，
在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH²+HE²=GH²，
即：x²+（2﹣y）²=y²，化简得：x²﹣4y+4=0 ①
由（1）可知，这里m=4，∴。
代入①式整理得：x²﹣8x+4=0，解得：x=或x=2。
∴BP的长为或2。