Question

4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A-C-B-A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）设存在点P，使得PA=PB，此时PA=PB=4t，PC=8-4t，根据勾股定理列方程即可得到t的值；
（2）过P作PE⊥AB，设CP=x，根据角平分线的性质和勾股定理列方程式进行解答即可；
（3）分类讨论：当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上，根据AP的长即可得到t的值，若点P在AB上，根据P移动的路程易得t的值；当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP=$\frac{1}{2}$AB=5，易得t的值；当BP=BC=6时，△BCP为等腰三角形，易得t的值．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴由勾股定理得AC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
如图，连接BP，
当PA=PB时，PA=PB=4t，PC=8-4t，
在Rt△PCB中，PC²+CB²=PB²，
即（8-4t）²+6²=（4t）²，
解得：t=$\frac{25}{16}$，
∴当t=$\frac{25}{16}$时，PA=PB；

（2）解：如图1，过P作PE⊥AB，
又∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴CP=EP，
∴△ACP≌△AEP（HL），
∴AC=8cm=AE，BE=2，
设CP=x，则BP=6-x，PE=x，
∴Rt△BEP中，BE²+PE²=BP²，
即2²+x²=（6-x）²
解得x=$\frac{8}{3}$，
∴CP=$\frac{8}{3}$，
∴CA+CP=8+$\frac{8}{3}$=$\frac{32}{3}$，
∴t=$\frac{32}{3}$÷4=$\frac{8}{3}$（s）；

（3）①如图2，当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，
若点P在CA上，则4t=8-6，
解得t=$\frac{1}{2}$（s）；
②如图3，当BP=BC=6时，△BCP为等腰三角形，
∴AC+CB+BP=8+6+6=20，
∴t=20÷4=5（s）；
③如图4，若点P在AB上，CP=CB=6，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得CD=4.8，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=3.6，
∴PB=2BD=7.2，
∴CA+CB+BP=8+6+7.2=21.2，
此时t=21.2÷4=5.3（s）；
④如图5，当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，
∴PD为△ABC的中位线，
∴AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴AC+CB+BP=8+6+5=19，
∴t=19÷4=$\frac{19}{4}$（s）；
综上所述，t为$\frac{1}{2}$s或5.3s或5s或$\frac{19}{4}$s时，△BCP为等腰三角形．

点评 本题以动点问题为背景，考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．解题时需要作辅助线构造直角三角形以及等腰三角形．