Question

已知抛物线y=x²+ｐx+ｑ与x轴交于不同两点A（x₁，0），B（x₂，0），（B在A的右边）交y轴于点C，且满足，
（1）求证：4ｐ+5ｑ=0；
（2）问是否存在一个圆O′，经过A、B两点，且与y轴相切于C点，若存在试确定此时抛物线的解析式及圆心Ｏ′的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵x₁+x₂=-2p，x₁x₂=2ｑ
  而，即，，
  ∴4p+5ｑ=0
（2）若存在⊙O′过A、B两点，且与y轴切于C点，
    则A、B必在原点的同侧，x₁x₂＞0．
    又OC²=OA·OB，∴ｑ²=2ｑ，
   ∴ｑ=0，ｑ=2，但ｑ=0不合题意，舍去．
  ∴ｑ=2，则p=-
   ∴抛物线的解析式为y=+2，O′的坐标为 (，2)