Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P、Q是反比例函数y=

a2+1

x

（x＞0）图象上的两点，过点P、Q分别作直线且与x、y轴分别交于点A、B和点M、N．已知点P为线段AB的中点．
（1）求△AOB的面积（结果用含a的代数式表示）；
（2）当点Q为线段MN的中点时，小菲同学连接AN，MB后发现此时直线AN与直线MB平行，问小菲同学发现的结论正确吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）过点P作PP₁⊥x轴，PP₂⊥y轴，由P为线段AB的中点，可知PP₁，PP₂是△AOB的中位线，故OA=2PP₂，OB=2PP₁，再由点P是反比例函数y=

a2+1

x

（x＞0）图象上的点，可知S_△AOB=

1

2

OA×OB=

1

2

×2PP₂×2PP₁=2PP₂×PP₁=2a²+2；
（2）由点Q为线段MN的中点，可知同（1）可得S_△MON=S_△AOB=2a²+2，故可得出OA•OB=OM•ON，即

OA

OM

=

ON

OB

，由相似三角形的判定定理可知△AON∽△MOB，故∠OAN=∠OMB，由此即可得出结论．

解答：解：（1）过点P作PP₁⊥x轴，PP₂⊥y轴，
∵P为线段AB的中点，
∴PP₁，PP₂是△AOB的中位线，
∴OA=2PP₂，OB=2PP₁，
∵点P是反比例函数y=

a2+1

x

（x＞0）图象上的点，
∴S_△AOB=

1

2

OA×OB=

1

2

×2PP₂×2PP₁=2PP₂×PP₁=2a²+2；


（2）结论正确．
理由：∵点Q为线段MN的中点，
∴同（1）可得S_△MON=S_△AOB=2a²+2，
∴OA•OB=OM•ON，
∴

OA

OM

=

ON

OB

，
∵∠AON=∠MOB，
∴△AON∽△MOB，
∴∠OAN=∠OMB，
∴AN∥MB．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数系数k的几何意义及三角形的中位线定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形的中位线是解答此题的关键．