Question

2．如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4），与线段BC交于点D，直线y=-$\frac{1}{2}$x+b过点D，与线段AB相交于点F．
（1）求点F的坐标；
（2）连接OF、OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明；
（3）在x轴上找两点M，N，使MN=2，且使四边形AMND周长最小，求M，N两点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由E点坐标可先求得反比例函数解析式，则可求得D点坐标，可求得直线DF解析式，可求得F点坐标；
（2）在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG．设直线EG的解析式为y=mx+n，把E（3，4），G（4，2）代入即可求出直线EG的解析式，故可得出H点的坐标，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5，可知OC=OE，即OG是等腰三角形底边EF上的中线．所以OG是等腰三角形顶角的平分线，由此即可得出结论；
（3）取A关于x轴的对称点A′，过A′作AN′∥x轴到AN′=2，连接DN′交x轴于点N，过A′作A′M∥DN′，交x轴于点M，则M、N即为所求的点，由D、N′坐标可求得直线DN′解析式，则可求得N点坐标，由MN=2，则可求得M点坐标．

解答 解：
（1）设反比例函数的解析式y=$\frac{k}{x}$，
∵反比例函数的图象过点E（3，4），
∴k=3×4=12，
∴反比例函数的解析式y=$\frac{12}{x}$，
∵正方形AOCB的边长为4，
∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．
∵点D在反比例函数的图象上，
∴点D的纵坐标为3，即D（4，3），
∵点D在直线y=-$\frac{1}{2}$x+b上，
∴3=-$\frac{1}{2}$×4+b，解得b=5，
∴直线DF为y=-$\frac{1}{2}$x+5，
将y=4代入y=-$\frac{1}{2}$x+5，得4=-$\frac{1}{2}$x+5，解得x=2，
∴点F的坐标为（2，4）；
（2）∠AOF=$\frac{1}{2}$∠EOC，理由如下：
在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，如图1，

∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=90°，AF=CG=2，
∴△OAF≌△OCG（SAS），
∴∠AOF=∠COG，
∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=90°，BG=CG=2，
∴△EGB≌△HGC（ASA），
∴EG=HG，
设直线EG：y=mx+n，
∵E（3，4），G（4，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=4}\\{4m+n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=10}\end{array}\right.$，
∴直线EG解析式为y=-2x+10，
令y=-2x+10=0，得x=5，
∴H（5，0），OH=5，
在Rt△AOE中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5，
∴OH=OE．，
∴OG是等腰三角形底边EH上的中线．
∴OG是等腰三角形顶角的平分线．
∴∠EOG=∠GOH．
∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF=$\frac{1}{2}$∠EOC；
（3）如图2，取A关于x轴的对称点A′，过A′作AN′∥x轴到AN′=2，连接DN′交x轴于点N，过A′作A′M∥DN′，交x轴于点M，

则四边形A′N′NM为平行四边形，
∴MN=A′N′=2，A′M=NN′，
∵A、A′关于x轴对称，
∴AM=A′M=NN′，
∵D、N、N′在一条线上，
∴NN′+DN最小，
∴AM+DN最小，
∴四边形AMND周长最小，即M、N为满足条件的点，
由上可知N′（2，-4），且D（4，3），
设直线DN′解析式为y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=-4}\\{4m+n=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{7}{2}}\\{n=-11}\end{array}\right.$，
∴直线DN′解析式为y=$\frac{7}{2}$x-11，
令y=0可得0=$\frac{7}{2}$x-11，解得x=$\frac{22}{7}$，
∴N（$\frac{22}{7}$，0），即ON=$\frac{22}{7}$，
∴OM=ON-MN=$\frac{22}{7}$-2=$\frac{8}{7}$，
∴M（$\frac{8}{7}$，0）．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、轴对称的性质等知识．在（1）中求得点D的坐标是解题的关键，在（2）中构造三角形全等是解题的关键，在（3）中确定出M、N的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．