【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,⊙O是△BEF的外接圆.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)过点E作EH⊥AB,垂足为H,求证:CD=HF;
(3)若CD=1,EF=,求AF长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)连接OE,由于BE是角平分线,则有∠CBE=∠OBE;而OB=OE,就有∠OBE=∠OEB,等量代换有∠OEB=∠CBE,那么利用内错角相等,两直线平行,可得OE∥BC;又∠C=90°,所以∠AEO=90°,即AC是⊙O的切线;
(2)连结DE,先根据AAS证明△CDE≌△HFE,再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF;
(3)先证得△EHF∽△BEF,根据相似三角形的性质求得BF=10,进而根据直角三角形斜边中线的性质求得OE=5,进一步求得OH,然后解直角三角形即可求得OA,得出AF.
证明:(1)如图1,连接OE.
∵BE⊥EF,
∴∠BEF=90°,
∴BF是圆O的直径.
∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=∠OBE,
∵OB=OE,
∴∠OBE=∠OEB,
∴∠OEB=∠CBE,
∴OE//BC,
∴∠AEO=∠C=90°,
∴AC是⊙O的切线;
(2)解:如图2,连结DE.
∵∠CBE=∠OBE,EC⊥BC于C,EH⊥AB于H,
∴EC=EH.
∵∠CDE+∠BDE=180°,∠HFE+∠BDE=180°,
∴∠CDE=∠HFE.
在△CDE与△HFE中,,
∴△CDE≌△HFE(AAS),
∴CD=HF.
(3)解:由(2)得CD=HF,又CD=1,
∴HF=1,
∵EF⊥BE,
∴∠BEF=90°,
∴∠EHF=∠BEF=90°,
∵∠EFH=∠BFE,
∴△EHF∽△BEF,
∴,即,
∴BF=10,
∴OE=BF=5,OH=5-1=4,
∴Rt△OHE中,cos∠EOA=,
∴Rt△EOA中,cos∠EOA=,
∴,
∴OA=,
∴AF=.
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【题目】经中共中央决定设立河北雄安新区,这一重大措施必将带动首都及周边区域向更高水平发展,同时也会带来更多商机.某水果经销商在第一周购进一批水果1160件,预计在第二周进行试销,购进价格为每件10元,若售价为每件12元,则可全部售出;若售价每涨价0.1元,销量就减少2件.
(1)若该经销商在第二周的销量不低于1100件,则售价应不高于多少元?
(2)由于销量较好,第三周水果进价比第一周每件增加了20%,该经销商增加了进货量,并加强了宣传力度,结果第三周的销量比第二周在(1)条件下的最低销量增加了m%,但售价比第二周在(1)条件下的最高售价减少了m%,结果第三周利润达到3388元,求m的值(m>10).
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【题目】某超市计划购进甲、乙两种商品,两种商品的进价、售价如下表:
商品 | 甲 | 乙 |
进价(元/件) | x60 | x |
售价(元/件) | 200 | 100 |
若用1800元购进甲种商品的件数与用900元购进乙种商品的件数相同.
(1)求甲、乙两种商品的进价是多少元?
(2)若超市销售甲、乙两种商品共100件,其中销售甲种商品为a件(a40),设销售完100件甲、乙两种商品的总利润为w元,求w与a之间的函数关系式,并求出w的最小值.
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【题目】如图,已知△ABC内接于⊙O,过点B作直线EF∥AC,又知∠ACB=∠BDC=60°,AC=cm.
(1)请探究EF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求⊙O的周长.
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【题目】 如图,点D在双曲线上,AD垂直x轴,垂足为A,点C在AD上,CB平行于x轴交双曲线于点B,直线AB与y轴相交于点F,已知AC:AD=1:3,点C的坐标为(3,2).
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)直接写出反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围.
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【题目】如图,RtΔABC中∠C=90°,∠ABC=30°,ΔABC绕点C顺时针旋转得ΔA1B1C,当A1落在AB上时,连接B1B,取B1B的中点D,连接A1D,则的值为_______.
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【题目】如图1,P是平面直角坐标系中第一象限内一点,过点P作PA⊥x轴于点A,以AP为边在右侧作等边△APQ,已知点Q的纵坐标为2,连结OQ交AP于B,BQ=3OB.
(1)求点P的坐标;
(2)如图2,若过点P的双曲线(k>0)与过点Q垂直于x轴的直线交于D,连接PD.求.
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【题目】实验中学为了奖励在学校《诗词大会》上获奖的同学,计划购买甲、乙两种奖品共20件,其中甲种奖品每件40元,乙种奖品每件30元.
(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费650元,求甲、乙两种奖品各购买了多少件.
(2)如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍,总花费不超过680元,求学校有几种不同的购买方案.
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【题目】已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,6),点B(1,3),直线l1:y=kx(k≠0),直线l2:y=-x-2,直线l1经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P,且l1与l2相交于点C,直线l2与x轴、y轴分别交于点D、E.若把抛物线上下平移,使抛物线的顶点在直线l2上(此时抛物线的顶点记为M),再把抛物线左右平移,使抛物线的顶点在直线l1上(此时抛物线的顶点记为N).
(1)求抛物y=x2+bx+c线的解析式.
(2)判断以点N为圆心,半径长为4的圆与直线l2的位置关系,并说明理由.
(3)设点F、H在直线l1上(点H在点F的下方),当△MHF与△OAB相似时,求点F、H的坐标(直接写出结果).
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