Question

1．如图，∠A=60°，BE₁平分∠ABC，CE₁平分∠ACD，则∠E₁=30°；BE₂平分∠E₁BC，CE₂平分∠E₁CD，则∠E₂=15°；…；BE_n平分∠E_n-1BC，CE_n平分∠E_n-1CD，则∠E_n=$\frac{60°}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠E₁CD=∠E₁+∠E₁BC；由角平分线定义，得∠E₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），∠E₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，利用等量代换，求得∠E₁=$\frac{1}{2}$∠A，同理，求得∠E₂=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A，∠E₃=$\frac{1}{{2}^{3}}$∠A，依此类推得出∠E_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A=$\frac{60°}{{2}^{n}}$．

解答 解：∵CE₁平分∠ACD，∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠E₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）．
又∵∠E₁CD=∠E₁+∠E₁BC，
∴∠E₁+∠E₁BC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）．
∵BE₁平分∠ABC，
∴∠E₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC+∠E₁=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
∴∠E₁=$\frac{1}{2}$∠A=$\frac{1}{2}$×60°=30°．
同理，∠E₂=∠E₂CD-∠E₂BC=$\frac{1}{2}$∠E₁CD-$\frac{1}{2}$∠E₁BC=$\frac{1}{2}$（∠E₁CD-∠E₁BC）=$\frac{1}{2}$∠E₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$∠A=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A=$\frac{1}{{2}^{2}}$×60°=15°，
∠E₃=∠E₃CD-∠E₃BC=$\frac{1}{2}$∠E₂CD-$\frac{1}{2}$∠E₂BC=$\frac{1}{2}$（∠E₂CD-∠E₂BC）=$\frac{1}{2}$∠E₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A=$\frac{1}{{2}^{3}}$∠A，
…，
∠E_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A=$\frac{60°}{{2}^{n}}$．
故答案为30°，15°，$\frac{60°}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查三角形外角的性质及三角形角平分线定义，解答的关键是理清各角之间的关系，找出规律．