分析 (1)令y=0,即可求出点A、B坐标,根据顶点式可以知道点D坐标.
(2)先求出直线CD解析式,根据OE⊥CD求出直线OE解析式,再求出点E坐标,利用两点间距离公式求出线段AE2,AD2,DE2,由勾股定理的逆定理证明△EAD是直角三角形即可解决问题.
(3)存在.设点P为(m,n),求出PM2,PN2,根据PM2+PN2=42,列出方程即可解决问题.
解答 解:(1)令y=0,则$\frac{1}{2}$(x-3)2-1=0,解得x=3$±\sqrt{2}$,
∴点A坐标(3-$\sqrt{2}$,0),点B坐标(3+$\sqrt{2}$,0),
令x=0则y=$\frac{7}{2}$,
∴点C坐标(0,$\frac{7}{2}$),顶点D坐标(3,-1).
(2)设直线CD解析式为y=kx+b,
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-1}\\{b=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$,
∴直线CD解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{7}{2}$,
∵OE⊥CD,
∴直线OE解析式为y=$\frac{2}{3}$x,
∴x=3时,y=2,
∴点E坐标(3,2),
∴AE2=($\sqrt{2}$)2+22=6,AD2=($\sqrt{2}$)2+12=3,DE2=32=9,
∴AE2+AD2=DE2,
∴∠EAD=90°.
(3)存在.
理由:由题意E(3,2),F(3,-4),设点P为(m,n),
∵点P在抛物线上,
∴n=$\frac{1}{2}$(m-3)2-1 ①
∴PM2=PE2-12=(m-3)2+(n-2)2-1,PN2=PF2-12=(m-3)2+(n+4)2-1,
∵PM2+PN2=42,
∴(m-3)2+(n-2)2-1+(m-3)2+(n+4)2-1=42,
整理得到(m-3)2+(n+1)2=0 ②
由①②得到m=3,n=-1,
∴点P坐标(3,-1).
点评 本题考查二次函数综合题、一次函数.两点间距离公式、勾股定理、非负数的性质等知识,解题的关键是熟练掌握求抛物线与坐标轴的交点,学会理由参数解决问题,本题有一定的代数技巧,巧用非负数的性质这个突破口,属于中考压轴题.
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