Question

9．如图1，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图2，连接BD，F为x轴上一点，连接CF交BD于点E，当BE=CE时，求点F的坐标；
（3）如图3，连接AC、BC，在（1）中的抛物线上是否存在点G，使得∠BCG=∠ACO？若存在，直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求解析式，并利用配方法求顶点坐标D；
（2）求OE的解析式，利用方程组求点E的坐标，利用待定系数法求CE的解析式，并求其与x轴的交点F的坐标；
（3）分两种情况：当CG在BC的上方和上方时各存在一个角满足∠ACO=∠BCG，①当CG与x轴交于点M时，设M（x，0），证明△ACM∽△ABC，求出x的值，即点M的坐标，求CM的解析式，与抛物线的解析式列方程组可求得点G的坐标；②当CG与x轴交于点N时，证明△ACP∽△NCO，同时可求得对应点G的坐标．

解答 解：（1）把A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax²+bx+3得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
顶点D（1，4）；
（2）当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=3，
∵B（3，0），
∴OB=3，
∴OB=OC，
∵BE=CE，
∴点E在∠COB的平分线上，
作射线OE，则OE的解析式为：y=x，
设BD的解析式为：y=kx+b，
把B（3，0）、D（1，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴BD的解析式为：y=-2x+6，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y=x}\end{array}\right.$，
-2x+6=x，
x=2，
∴y=2，
∴E（2，2），
设CE的解析式为：y=kx+b，
把C（0，3），E（2，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴CE的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+3，
当y=0时，-$\frac{1}{2}$x+3=0，
x=6，
∴F（6，0）；
（3）分两种情况：
设G（x，-x²+2x+3），
①如图3，当CG交x轴于M时，
∵∠ACO=∠BCG时，
∴∠ACM=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠ACM=45°，
∵∠ACB=∠ACM+∠BCG，∠AMC=∠OBC+∠BCG，
∴∠ACB=∠AMC，
∵∠CAM=∠CAB，
∴△ACM∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∵OA=1，OC=3，
∴AC=$\sqrt{10}$，
设M（x，0），
∴$\frac{x+1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴M（$\frac{3}{2}$，0），
同理可求得CM的解析式为：y=-2x+3，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
-x²+2x+3=-2x+3，
x²-4x=0，
x（x-4）=0，
x₁=0（舍），x₂=4，
当x=4时，y=-5，
∴G（4，-5），
②如图4，当CG与x轴交于点N时，过A作AP⊥BC于P，
∵∠OBC=45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴AP=BP=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴CP=BC-BP=$\sqrt{2}$，
∵∠ACO=∠BCG，
∴∠ACB=∠OCG，
∵∠APC=∠COB=90°，
∴△ACP∽△NCO，
∴$\frac{AP}{NO}=\frac{CP}{CO}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{NO}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴NO=6，
∴N（6，0），
同理可得NC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+3，
联立方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得：x₁=0，x₂=$\frac{5}{2}$，
因为点G在抛物线上，所以当x=$\frac{5}{2}$时，y=$\frac{7}{4}$，
∴G（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），
综上所述，存在点G（4，-5）或（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），使得∠BCG=∠ACO．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，能利用解析式求交点坐标：把两解析式组成方程组解出即可．