Question

18．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ACO=30°，过点G（0，-6）作GF⊥AC，垂足为F，直线GF分别交AB、OC于点E、D，
（1）直接写出B、C两点的坐标；B（6$\sqrt{3}$，6）；C（6$\sqrt{3}$，0）；
（2）求直线DE的解析式；
（3）判断三角形AOF形状，并说明理由；
（4）若点M在直线DE上，平面内是否存在点P，使以O、F、M、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用30度角的性质和勾股定理求得OA以及OC的长度，则C、B的坐标即可得到；
（2）根据三角函数求OD的长，写出D的坐标，利用待定系数法求直线DE的解析式即可；
（3））△AOF是等边三角形，理由是如图1，根据中位线定理得：AE=2OD=4$\sqrt{3}$，利用30度的三角函数求AF=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，则AD=AF，所以△AOF是等边三角形；
（4）分当FM是菱形的边和当OF是对角线、当OF为边时，三种情况进行讨论．利用三角函数即可求得P的坐标．

解答 解：（1）在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AC=12，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×12$=6，
由勾股定理得：OC=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∵四边形OABC是矩形，
∴C（6$\sqrt{3}$，0），B（6$\sqrt{3}$，6）；
故答案为：（6$\sqrt{3}$，6），（6$\sqrt{3}$，0）；
（2）∵G（0，-6），
∴OG=6，
∵GF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴∠GOD=∠DFC=90°，
∵∠ODG=∠FDC，
∴∠OGD=∠ACO=30°，
tan30°=$\frac{OD}{OG}$，
OD=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴D（2$\sqrt{3}$，0），
设直线DE的解析式为：y=kx+b，
把G（0，-6），D（2$\sqrt{3}$，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}x+b=0}\\{b=-60}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为：y=$\sqrt{3}$x-6；
（3）△AOF是等边三角形，理由是：
连接OF，如图1，
Rt△AOC中，∠ACO=30°，
∴∠OAC=60°，
∵AO=OG，OD∥AE，
∴GD=DE，
∴OD是△AGE的中位线，
∴AE=2OD=4$\sqrt{3}$，
∵AB∥OC，
∴∠BAC=∠ACO=30°，
cos30°=$\frac{AF}{AE}$，
AF=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
∴AD=AF，
∴△AOF是等边三角形；
（4）∵C的坐标是（6$\sqrt{3}$，0），B的坐标是（6$\sqrt{3}$，6）；
∴A（0，6），
∴设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6\sqrt{3}k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$．
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+6．
∵直线DE的解析式为y=$\sqrt{3}$x-6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+6}\\{y=\sqrt{3}x-6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3\sqrt{3}}\\{y=3}\end{array}\right.$．
F（3$\sqrt{3}$，3），
∴F是线段AC的中点，
∴OF=$\frac{1}{2}$AC=6，
∵∠EDC=90°-30°=60°，
当FM是菱形的边时，如图2，OP∥FM，
则∠POC=60°或120°．
当∠POC=60°时，过P作PG⊥y轴，则PG=OP•sin30°=6×$\frac{1}{2}$=3，
OG=OP•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3 $\sqrt{3}$，则P的坐标是（3，3 $\sqrt{3}$）；
当∠POC=120°时，与当∠POC=60°时关于原点对称，则P的坐标是（-3，-3 $\sqrt{3}$）；
当OF是对角线时，如图3，M、P关于OF对称，连接MP交OF于H，
∵F的坐标是（3 $\sqrt{3}$，3），
∴∠FOC=∠POF=30°，
在直角△OPH中，OH=$\frac{1}{2}$OF=3，OP=$\frac{OH}{cos30°}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2 $\sqrt{3}$．
作PL⊥y轴于点L，
在直角△OPL中，∠POL=30°，
则PL=$\frac{1}{2}$OP=$\sqrt{3}$，
OL=OP•cos30°=2 $\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
故P的坐标是（ $\sqrt{3}$，3），
当OF为边时，M与G重合，如图4，这个时候P在第四象限，
此时点P的坐标为：（3 $\sqrt{3}$，-3）．
则P的坐标是：（3 $\sqrt{3}$，-3）或（3，3 $\sqrt{3}$）或（-3，-3 $\sqrt{3}$）或（$\sqrt{3}$，3）．

点评 本题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，线段中点坐标公式，含30度直角三角形的性质，以及菱形的性质，本题对于P的位置的讨论是解第四问的关键．