【题目】已知⊙O的直径为10,点A,点B,点C在⊙O上,∠CAB的平分线交⊙O于点D.
(Ⅰ)如图①,若BC为⊙O的直径,AB=6,求AC,BD,CD的长;
(Ⅱ)如图②,若∠CAB=60°,求BD的长.
【答案】(1)AC=8,BD=CD=5;(2)5.
【解析】
试题(Ⅰ)利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形,利用勾股定理可以求得AC的长度;利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形,所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5;
(Ⅱ)如图②,连接OB,OD.由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形,则BD=OB=OD=5.
试题解析:(Ⅰ)如图①,∵BC是⊙O的直径,
∴∠CAB=∠BDC=90°.
∵在直角△CAB中,BC=10,AB=6,
∴由勾股定理得到:AC=.
∵AD平分∠CAB,
∴,
∴CD=BD.
在直角△BDC中,BC=10,CD2+BD2=BC2,
∴易求BD=CD=5;
(Ⅱ)如图②,连接OB,OD.
∵AD平分∠CAB,且∠CAB=60°,
∴∠DAB=∠CAB=30°,
∴∠DOB=2∠DAB=60°.
又∵OB=OD,
∴△OBD是等边三角形,
∴BD=OB=OD.
∵⊙O的直径为10,则OB=5,
∴BD=5.
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【题目】学习投影后,小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度,并探究影子长度的变化规律.如图,在同一时间,身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长是3 m,而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点,并测得HB=6 m.
(1)请在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G;
(2)求路灯灯泡的垂直高度GH;
(3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去,当小明走到BH的中点B1处时,其影子长为B1C1;当小明继续走剩下路程的到B2处时,其影子长为B2C2;当小明继续走剩下路程的
到B3处,…,按此规律继续走下去,当小明走剩下路程的
到Bn处时,其影子BnCn的长为
m.(直接用含n的代数式表示)
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【题目】如图,直线l与⊙O相切于点A,作半径OB并延长至点C,使得BC=OB,作CD⊥直线l于点D,连接BD得∠CBD=75°,则∠OCD=_____度.
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【题目】如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的顶
点都在格点上,建立平面直角坐标系.
(1)点A的坐标为 ,点C的坐标为 .
(2)将△ABC向左平移7个单位,请画出平移后的△A1B1C1.若M为△ABC内的一点,其坐标为(a,b),则平移后点M的对应点M1的坐标为 .
(3)以原点O为位似中心,将△ABC缩小,使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1∶2.请在网格内画出△A2B2C2,并写出点A2的坐标: .
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【题目】如图,⊙O与AC相切于点A,且AB=AC,BC与⊙O相交于点D,下列说法不正确的是().
A. ∠C = 45° B. CD=BD C. ∠BAD=∠DAC D. CD=AB
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【题目】对于下列结论:①二次函数y=6x2,当x>0时,y随x的增大而增大;②关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=﹣2,x2=1(a、m、b均为常数,a≠0),则方程a(x+m+2)2+b=0的解是x1=﹣4,x2=﹣1;③设二次函数y=x2+bx+c,当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,那么c的取值范围是c≥3.其中,正确结论的个数是( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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【题目】如图,二次函数y=ax2-2ax+3(a≠0)的图象与x、y轴交于A、B、C三点,其中AB=4,连接BC.
(1)求二次函数的对称轴和函数表达式;
(2)若点M是线段BC上的动点,设点M的横坐标为m,过点M作MN∥y轴交抛物线于点N,求线段MN的最大值.
(3)当0≤x≤t,则3≤y≤4,直接写出t的取值范围;
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,CE⊥AB于E,弦AD交CE延长线于点F,CF﹦AF.
(1)求证:;
(2)若BC=8,tan∠DAC=,求⊙O的半径.
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【题目】如图,河流的两岸,
互相平行,河岸
上有一排间隔为
的电线杆
,
,
…某人在河岸
的
处测得
,然后沿河岸走了
到达
处,测得∠CBN=60°,求河流的宽度.(结果精确到
)
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