Question

7．一次国际龙舟拉力赛中，上午9时，参赛龙舟同时出发，其中甲、乙两队在比赛时，路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，甲队在上午11时30分到达终点．
（1）哪个队先到达终点？求乙队上午几时追上甲队；
（2）在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？

Answer 1

分析 （1）甲队在上午11时30分到达终点，共花时间2.5小时，从图象上看乙队花时间少，先到终点．从图象来看，乙队的路程与时间成正比例关系，甲队的路程与时间是一个分段函数，即在1小时内是正比例函数，在1到2.5小时是一次函数，可使用待定系数法分别求出．乙队追上甲队时，两队的路程相等，列出方程可求解；
（2）由图看出1小时之内，两队相距最远距离是4千米；乙队追上甲队后，两队的距离也可计算，相比较得出甲、乙两队在出发后1小时相距最远．

解答 解：（1）由题意知，甲上午9时出发，上午11时30分到达终点，耗时2.5小时，
根据图象可知，乙比甲先到达终点；
当0≤x≤1时，y_甲=kx，
将（1，20）代入，得：20=k，即y_甲=20x；
当1＜x≤2.5时，y_甲=kx+b，
将（1，20）、（2.5，36）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=20}\\{2.5k+b=36}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{32}{3}}\\{b=\frac{28}{3}}\end{array}\right.$，
∴y_甲=$\left\{\begin{array}{l}{20x}&{（0≤x≤1）}\\{\frac{32}{3}x+\frac{28}{3}}&{（1＜x≤2.5）}\end{array}\right.$，
设y_乙=mx，
将（1，16）代入得：10=m，即y_乙=16x，
令y_甲=y_乙，当1＜x≤2.5时，$\frac{32}{3}$x+$\frac{28}{3}$=16x，得x=$\frac{7}{4}$，
故出发1小时45分钟后（或者上午10点45分）乙队追上甲队；

（2）由图象可知小时之内，两队相距最远距离是4千米，
乙队追上甲队后，两队的距离是16x-（$\frac{32}{3}$x+$\frac{28}{3}$）=$\frac{16}{3}$x+$\frac{28}{3}$，
∴当x为最大，即x=$\frac{36}{16}$=$\frac{9}{4}$时，$\frac{16}{3}$x+$\frac{28}{3}$最大，
此时最大距离为$\frac{9}{4}$×$\frac{16}{3}$-$\frac{28}{3}$=$\frac{8}{3}$＜4，
所以比赛过程中，甲、乙两队在出发后1小时（或者上午10时）相距最远．

点评 本题考查一次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求一次函数关系式并将实际问题转化为一次函数的问题求解是解题的关键．