Question

如图，已知直线y=-

1

2

x+1交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．
（1）直接写出点C和点D的坐标，C（

 

）；D（

 

）；
（2）求出过A，D，C三点的抛物线的解析式及对称轴；
（3）探索：过点E作平行于y轴的直线上是否存在点P，使△PBC为直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先将A和点B的坐标得出和AB的长度，并分别得出直线AD和BC所在的直线方程，利用正方形的性质即可分别得出C和点D的坐标；
（2）令x=0，即可得出y的值，从而可得出A的坐标，结合（1），可知C和D点的坐标，设出抛物线的解析式，将三个点的坐标分别代入即可得出抛物线的方程；同时即可得出抛物线的对称轴；
（3）若使△PBC为直角三角形，需分三种情况来讨论，①当∠CBP=90°时；②当∠BCP=90°时；③当∠CPB=90°时；分别讨论着三种情况，即可得出①和②两种情况有，存在点P，分别为（4，-1）和（4，

3

2

），③不存在；

解答：解：（1）C（3，2），D（1，3）

（2）把x=0代入y=-

1

2

x+1得，y=1
∴A点坐标为（0，1）
设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）．
把点A（0，1），C（3，2），D（1，3）代入得

c=1 9a+3b+c=2 a+b+c=3

，（2分）
解，得

a=- 5 6 b= 17 6 c=1

∴二次函数的解析式为y=-

5

6

x2+

17

6

x+1．
对称轴为：直线x=

17

10

（3）①当∠CBP=90°时，P（4，-1）
②当∠BCP=90°时P（4，

3

2

）
③当∠CPB=90°时，以BC为直径的圆与直线x=4相离，
即直线与圆无交点，则不存在．（或用勾股定理来算无解）．

点评：此题考查了抛物线和一次函数解析式的确定、三角形的有关知识等重要知识点，本题难度不大，在分类讨论的时候，要考虑问题要全面，做到不重不漏．