Question

13．已知边长为4的正方形ABCD中，E．F分别是CD．BC的中点，点P．Q分别从B、F两点同时出发分别以2个单位/秒.1个单位/秒的速度，沿BA，FC的方向侈动，点M是PC上一点，且∠EMC=∠EQK，探究CM，CP的值的变化．
（1）甲同学发现，当P与点B重合，点Q与点F重合时，在图 ①中画出相应的图形，则CM•CP=8；
（2）乙学学发现，当P与点A重合，点Q与点C重合时，上述结论不变，请你在图②画出相应的图形并帮助乙说明理由；
（3）在甲、乙同学探究的基础上，在图③中，请你对CM•CP 的值的变化惰况进行猜想，并对你的猜想给以证明．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形，进而得出MC=2，PC=BC=4，求出答案即可；
（2）根据题意画出图形，进而得出MC=$\sqrt{2}$，PC=AC=4$\sqrt{2}$，求出答案即可；
（3）设t秒时，则QC=2-t，AP=4-2t，求出线段比然后可证明△CQE∽△APD，推出∠EMC=∠PDC，然后再证明△CME∽△CDP，利用线段比可证得CM•CP=CD•CE．

解答 解：（1）如图1所示：此时点M，F，Q重合，B与P重合，
由题意可得：MC=2，PC=BC=4，
故CM•CP=2×4=8；
故答案为：8；

（2）如图2所示：此时点C，Q重合，A与P重合，
∵EC=2，∠ACE=45°，
∴MC=$\sqrt{2}$，
∵AB=BC=4，
∴AC=4$\sqrt{2}$，
故CM•CP=$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$=8；

（3）CM•CP的值是一个定值．
理由：如图3，连接DP，设t秒时，
∵FQ=t，BP=2t，
∴QC=2-t，AP=4-2t，
∴$\frac{QC}{AP}$=$\frac{CE}{AD}$，
∵∠QCE=∠A=90°，
∴△CQE∽△APD．
∴∠CQE=∠APD，
∵正方形ABCD中AB∥CD，
∴∠APD=∠PDC，
∵∠EMC=∠EQC，
∴∠EMC=∠PDC，
∵∠PCD=∠PCD，
∴△CME∽△CDP，
∴$\frac{CM}{CD}$=$\frac{CE}{CP}$，
∴CM•CP=CD•CE=4×2=8．

点评 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定，线段的比以及勾股定理等知识，利用已知△CQE∽△APD进而得出△CME∽△CDP是解题关键．