Question

如图所示，已知△ABC的面积为2400cm²，底边BC长为80cm．若点D在BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四边形BDEF为平行四边形，设BD=xcm，S_{平行四边形BDEF}=ycm²，求：
（1）y与x的函数关系式；
（2）自变量x的取值范围；
（3）当x为何值时，y有最值，最值是多少？

Answer 1

分析：（1）根据△ABC的面积，可求得BC边上的高，易证得△CDE∽△CBA，根据相似三角形得到的比例线段即可用x表示出E到CD的距离，即平行四边形BD边上的高，进而可根据平行四边形的面积计算方法得到y、x的函数关系式．
（2）根据BC的长即可得到x的取值范围．
（3）由（1）得到函数解析式，结合（2）的自变量取值范围，即可根据函数的性质求得y的最大值及对应的x的值．

解答：解：（1）设△DCE的高为hcm，如答图所示，
△ABC的高为bcm，则y=S_{平行四边形BDEF}=x•h；
∵S_△ABC=

1

2

BC•b，
∴2400=

1

2

×80b，∴b=60（cm）．
∵ED∥AB，∴△EDC∽△ABC．
∴

h

b

=

DC

BC

，即

h

60

=

80-x

80

，
∴h=

3(80-x)

4

．
∴y=

3(80-x)

4

•x=-

3

4

x²+60x．

（2）自变量x的取值范围是0＜x＜80．

（3）∵a=-

3

4

＜0，∴y有最大值；
当x=40时，y_最大值=1200（cm²）．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用等知识，难度适中．