Question

11．在平面直角坐标系中，P点在x轴上，⊙P交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，E为⊙O上一点，连接CE．
（1）如图①，若$\widehat{AC}$=$\widehat{CM}$，AB=13，BM=5，求点C的坐标；
（2）如图②，当O为AP中点时，探究DE，CE，BE之间的数量关系；
（3）如图③，当O为AP中点时，写出DE，CE，AE之间的数量关系（不证明）ED+EC=$\sqrt{3}$EA．

Answer 1

分析 （1）只要证明△COP∽△AMB，可得$\frac{OC}{AM}$=$\frac{OP}{BM}$=$\frac{PC}{AB}$，由此求出OP、OC即可；
（2）结论：DE+BE=CE．如图2中，连接BC、AC、CP、DE，在EC上取一点K，使得ED=EK．只要证明△CDK≌△BDE，即可解决问题；
（3）结论：ED+EC=$\sqrt{3}$EA．如图3中，延长EC到M，使得CM=DE．只要证明△ACM≌△ADE，推出AM=AE，推出∠AEM=∠M=30°，推出∠MAE=120°，易知EM=$\sqrt{3}$AE，由此即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，连接AM、PC．AM交PC于K．

∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CM}$，
∴PC⊥AM，
∵AB是直径，
∴∠AKP=∠AMB=90°，
∴PC∥BM，
∴∠CPO=∠ABM，
∵∠COP=∠AMB=90°，
∴△COP∽△AMB，
∴$\frac{OC}{AM}$=$\frac{OP}{BM}$=$\frac{PC}{AB}$，
∵AB=13，BM=5，
∴AM=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴OC=6，OP=$\frac{5}{2}$，
∴C（0，6）．
（2）结论：DE+BE=CE．
理由：如图2中，连接BC、AC、CP、DE，在EC上取一点K，使得ED=EK．

∵OA=OP，CO⊥AP，
∴CA=CP=PA，
∴△PAC是等边三角形，
∴∠CDB=∠CAP=∠CEB=60°，
∵BO⊥CD，
∴OC=OD，
∴BC=BD，
∴△CDB是等边三角形，
∴∠CED=∠CBD=60°，
∵ED=EK，
∴△DEK是等边三角形，
∵∠CDB=∠KDE=60°，
∴∠CDK=∠BDE，
∵CD=DB，DK=DE，
∴△CDK≌△BDE，
∴CK=BE，
∵CE=EK+CK，EK=DE，CK=BE，
∴CE=ED+EB．

（3）结论：ED+EC=$\sqrt{3}$EA．
理由：如图3中，延长EC到M，使得CM=DE．

在△ACM和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{∠ACM=∠ADE}\\{CM=DE}\end{array}\right.$，
∵△ACM≌△ADE，
∴AM=AE，
∴∠AEM=∠M=30°，
∴∠MAE=120°，
易知EM=$\sqrt{3}$AE，
∴DE+EC=CM+EC=EM=$\sqrt{3}$AE．

点评 本题考查圆综合题、垂径定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．