Question

（2012•福州） 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=2

3

，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由CD为圆O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CD，由AD垂直于CD，可得出OC平行于AD，根据两直线平行内错角相等可得出∠1=∠2，再由OA=OC，利用等边对等角得到∠2=∠3，等量代换可得出∠1=∠3，即AC为角平分线；
（2）法1：由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在直角三角形ABC中，由∠B的度数求出∠3的度数为30°，可得出∠1的度数为30°，在直角三角形ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由CD的长求出AC的长，在直角三角形ABC中，根据cos30°及AC的长，利用锐角三角函数定义求出AB的长，进而得出半径OE的长，由∠EAO为60°，及OE=OA，得到三角形AEO为等边三角形，可得出AE=OA=OE，即可确定出AE的长；
法2：连接EC，由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在直角三角形ABC中，由∠B的度数求出∠3的度数为30°，可得出∠1的度数为30°，在直角三角形ADC中，由CD及tan30°，利用锐角三角函数定义求出AD的长，由∠DEC为圆内接四边形ABCE的外角，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角，得到∠DEC=∠B，由∠B的度数求出∠DEC的度数为60°，在直角三角形DEC中，由tan60°及DC的长，求出DE的长，最后由AD-ED即可求出AE的长．

解答：解：（1）如图1，连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD+∠ADC=180°，
∴AD∥OC，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
则AC平分∠DAB；

（2）法1：如图2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=60°，
∴∠1=∠3=30°，
在Rt△ACD中，CD=2

3

，∠1=30°，
∴AC=2CD=4

3

，
在Rt△ABC中，AC=4

3

，∠CAB=30°，
∴AB=

AC

cos∠CAB

=

4 3

cos30°

=8，
连接OE，
∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE=OA=

1

2

AB=4；

法2：如图3，连接CE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∠B=60°，
∴∠1=∠3=30°，
在Rt△ACD中，CD=2

3

，
∴AD=

CD

tan∠DAC

=

2 3

tan30°

=6，
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
又∵∠DEC=∠B=60°，
在Rt△CDE中，CD=2

3

，
∴DE=

DC

tan∠DEC

=

2 3

tan60°

=2，
∴AE=AD-DE=4．

点评：此题考查了切线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，利用了转化及数形结合的思想，遇到直线与圆相切，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．