Question

将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图①）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图②）；再展平纸片（如图③），则图③中α的正切值为

 

．

Answer 1

分析：首先根据折叠与矩形的性质，即可求得α的度数，然后在等腰直角三角形的中，求得22.5°角的正切值，即可求得图③中α的正切值．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABF=90°，AD∥BC，
∵将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE，
∴∠ABE=∠FBE=

1

2

∠ABF=45°，
∴∠AEB=∠FBE=45°，
∴∠BED=180°-∠AEB=135°，
∵∠BEG=∠DEG=

1

2

∠BED=67.5°，
∴∠α=∠FEG=∠BEG-∠BEF=22.5°，
如图：△MNP是等腰直角三角形，QM平分∠PMN，
∴∠PMQ=22.5°=∠α，
过点Q作QH⊥MN于H，
则QH=PQ，
∴△PMQ≌△HMQ，
∴MH=PM，
设PM=a，则PN=PM=MH=a，MN=

2

a，
∴NH=MN-MH=（

2

-1）a，
∵∠N=∠N，∠NHQ=∠P=90°，
∴△NHQ∽△NPM，
∴

NH

NP

=

NQ

MN

，
即

( 2 -1)a

a

=

NQ

2 a

，
解得：NQ=（2-

2

）a，
∴PQ=PN-NQ=（

2

-1）a，
∴tanα=tan∠QMP=

PQ

PM

=

( 2 -1) a

a

=

2

-1．
故答案为：

2

-1．

点评：此题考查了矩形的性质、折叠的性质与三角函数的性质等知识．解此题的关键是掌握折叠中的对应关系与数形结合思想的应用．