如图15,在Rt△ABC中,,CP平分∠ACB,CP与AB交于点D,且 PA=PB.
【小题1】请你过点P分别向AC、BC作垂线,垂足分别为点E、F,并判断四边形PECF的形状
【小题2】求证:△PAB为等腰直角三角形
【小题3】设,,试用、的代数式表示的周长;
【小题4】试探索当边AC、BC的长度变化时,的值是否发生变化,若不变,请直接写出这个不变的值,若变化,试说明理由
【小题1】过点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB,垂足分别为E、F(如图4) …………1分
∵∠ACB=90°又由作图可知PE⊥AC、PF⊥CB,∴四边形PECF是矩形,
又∵点P在∠ACB的角平分线上,且PE⊥AC、PF⊥CB,∴PE=PF,
∴四边形PECF是正方形. …………2分
【小题2】证明:在Rt△AEP和Rt△BFP中,
∵PE=PF,PA=PB,∠AEP=∠BFP= 90°,
∴Rt△AEP≌Rt△BFP.
∴∠APE=∠BPF.
∵∠EPF= 90°,从而∠APB= 90°.
又因为PA=PB,
∴△PAB是等腰直角三角形. …………5分
【小题3】如图4,在Rt△PAB中,∠APB=90°,PA=PB,PA=m,
∴AB=PA= . …………6分
由(2)中的证明过程可知,Rt△AEP≌Rt△BFP,可得AE=BF,CE=CF,
∴CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE,又PC=n,
所以,在正方形PECF中,CE=PC=n.
∴CA+CB=2CE=.
所以△ABC的周长为:AB+BC+CA=+
【小题4】不变, . …………9分
【参考证明:如图4,∵∠1=∠2=∠3=∠4=45°,且∠ADC=∠PDB,
∴△ADC∽△PDB,故,即 ,……①
同理可得,△CDB∽△ADP,得到 , ……②
又PA=PB,则①+②得:===.
所以,这个值仍不变为.】
解析
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如图15,在Rt△ABC中,,CP平分∠ACB,CP与AB交于点D,且 PA=PB.
1.请你过点P分别向AC、BC作垂线,垂足分别为点E、F,并判断四边形PECF的形状
2.求证:△PAB为等腰直角三角形
3.设,,试用、的代数式表示的周长;
4.试探索当边AC、BC的长度变化时,的值是否发生变化,若不变,请直接写出这个不变的值,若变化,试说明理由
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科目:初中数学 来源:2011-2012学年河北石家庄初中毕业班教学质量检测数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图15,在Rt△ABC中,,CP平分∠ACB,CP与AB交于点D,且 PA=PB.
1.请你过点P分别向AC、BC作垂线,垂足分别为点E、F,并判断四边形PECF的形状
2.求证:△PAB为等腰直角三角形
3.设,,试用、的代数式表示的周长;
4.试探索当边AC、BC的长度变化时,的值是否发生变化,若不变,请直接写出这个不变的值,若变化,试说明理由
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