Question

19．关于x的方程9x²-9sinA•x-2=0的两根的平方和是1，其中∠A为锐角△ABC的一个内角．
（1）求sinA的值；
（2）若△ABC的两边长m、n满足方程y²-6y+k²+4k+13=0（k为常数），求△ABC的第三边．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程根与系数的关系及完全平方公式，即可求出sinA的值；
（2）根据根的判别式首先求出k的值，然后分两种情况：①∠A是底角；②∠A是顶角，分别求出△ABC的第三边的长度．

解答 解：（1）设关于x的方程9x²-9sinA•x-2=0的两根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=sinA，x₁•x₂=-$\frac{2}{9}$．
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=sin²A+$\frac{4}{9}$．
∵方程9x²-9sinA•x-2=0的两根的平方和是1，
∴sin²A+$\frac{4}{9}$=1，
∴sinA=±$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵∠A为锐角，
∴sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$；

（2）依题意，知m、n是方程y²-6y+k²+4k+13=0的两根，
则△≥0，
∴36-4（k²+4k+13）≥0，
∴-（k+2）²≥0，
∴（k+2）²≤0，
又∵（k+2）²≥0，
∴k=-2．
把k=-2代入方程，得y²-6y+9=0，
解得y=3，
∴m=n=3，
∴△ABC是等腰三角形．
分两种情况：①∠A是底角；②∠A是顶角．
①当∠A是底角时，如图，△ABC中，AB=BC=3，作底边AB上的高BD，则AB=2AD．
在直角△ABD中，
∵sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴BD=$\sqrt{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=2，
∴AC=4；
②当∠A是顶角时，如图，△ABC中，AB=AC=3，作腰AC上的高BD．
在直角△ABD中，∵sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴BD=$\sqrt{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=2，
∴CD=AC-AD=1．
在直角△ABD中，∵∠BDC=90°，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
综上可知，△ABC的第三边的长度为4或$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系，等腰三角形的性质，三角函数的定义，综合性强，难度较大．