Question

如图，把矩形OABC放置在直角坐标系中，OA=6，OC=8，若将矩形折叠，使点B与O重合，得到折痕EF，连接OE、BF．
（1）四边形OEBF的形状为______．
（2）若直线L把矩形OABC的面积分成相等的两部分，则直线L必经过点的坐标是______．
（3）求四边形OEBF的周长？

Answer 1

解：（1）矩形OABC中，OC∥AB，
∴∠COB=∠OBA，
∵将矩形折叠，使点B与O重合，
∴OD=BD，
在△OFD与△BED中，，
∴△OFD≌△BED（ASA），
∴OF=BE，
∴四边形OEBF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∵将矩形折叠，使点B与O重合，
∴BE=OE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴四边形OEBF是菱形；

（2）根据梯形的中位线或三角形的中位线定理，过矩形的中心的直线L把矩形OABC的面积分成相等的两部分，
∵OA=6，OC=8，
∴中心的坐标是（3，4）；

（3）设菱形OEBF的边长为x，则AE=AB-x=8-x，
在Rt△OAE中，OE²=OA²+AE²，
即x²=6²+（8-x）²，
解得x=，
∴四边形OEBF的周长=4x=4×=25．
分析：（1）根据矩形的对边平行的性质得到OC∥AB，根据两直线平行，内错角相等得到∠COB=∠OBA，然后即可证明△OFD与△BED全等，根据全等三角形的对应边相等得到BE=OF，所以四边形OEBF是平行四边形，根据折叠的对称性得到BE=OE，所以四边形OEBF是菱形；
（2）根据梯形的中位线定理，或三角形的中位线定理，过矩形的中心直线分矩形为梯形或两个三角形，平行于矩形的一边的平行线是梯形的中位线或三角形的中位线，所以所分成两部分梯形或三角形的面积相等；
（3）设菱形的边长为x，在Rt△AOE中，表示出AE=8-x，再根据勾股定理列式即可求出x，然后即可求出四边形OEBF的周长．
点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，是综合题，难度不大，熟练掌握各性质定理是解题的关键．