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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，过点M作MN∥DE交AE于点N，连接NC．设BC=4，BM=x，△MNC的面积为S△MN精英家教网C，△ABC的面积为S△ABC．
    （1）求证：△MNC是直角三角形；
    （2）试求用x表示S△MNC的函数关系式，并写出x的取值范围；
    （3）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，
    ①当直线AD与⊙N相切时，试探求S△MNC与S△ABC之间的关系；
    ②当S△MNC=
    14
    S△ABC时，试判断直线AD与⊙N的位置关系，并说明理由．
    分析：（1）利用平行线的性质和等量代换，易得△ABM∽△ACN，再由等量代换得到∠MCN=90°即可；
    （2）由于△MNC是直角三角形，则有S△MNC=
    1
    2
    MN•CN，而MC=4-x，故利用相似三角形的对应边成比例用含x的代数式表示出CN，就可求得S△MNC的函数关系式．
    （3）①当直线AD与⊙N相切时，利用AN=NC，确定出CN的值后，用2中的S△MNC的函数关系式，确定S△MNC与S△ABC之间的关系；②当S△MNC=
    1
    4
    S△ABC时，求得x的值，讨论x取不同值时直线AD与⊙N的位置关系．
    解答：解：（1）MN∥DE，∴
    AM
    AD
    =
    AN
    AE
    ，
    又∵AD=AB，AE=AC，∴
    AM
    AB
    =
    AN
    AC
    ，
    又∵∠BAM=∠CAN，∴△ABM∽△ACN，
    ∴∠B=∠NCA，∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，
    ∴∠MCN=90°．即△MNC是直角三角形．

    （2）在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=4，
    ∴AC=2，AB=2
    		3
    ，
    ∴△ABM∽△ACN，∴
    BM
    CN
    =
    AB
    AC
    ，
    ∴CN=
    MB．AC
    AB
    =
    2x
    2
    		3
    =
    		3
    x
    3
    ，
    ∴S△MNC=
    1
    2
    CM•CN=
    1
    2
    （4-x）•
    		3
    3
    x=
    		3
    6
    （4x-x2）（0＜x＜4）．

    （3）①直线AD与⊙N相切时，则AN=NC，
    ∵△ABM∽△ACN，
    ∴
    AM
    AN
    =
    MB
    NC
    ，∴AM=MB．
    ∵∠B=30°∴∠α=30°，∠AMC=60°．
    又∵∠ACB=90°-30°=60°
    ∴△AMC是等边三角形，有AM=MC=BM=
    1
    2
    BC=2，即x=2．
    S△MNC=
    		3
    6
    （4x-x2）=
    2
    		3
    3
    ，∵S△ABC=
    1
    2
    AB•AC=2
    		3
    ，
    ∴S△MNC=
    1
    3
    S△ABC．
    ②当S△MNC=
    1
    4
    S△ABC时
    ∴S△MNC=
    		3
    6
    （4x-x2）=
    1
    4
    •2
    		3
    解得x=1或x=3．
    （i）当x=1时，
    在Rt△MNC中，MC=4-x=3，∴MN=
    		NC2+MC2
    =
    2
    		21
    3

    ∵
    1
    3
    		21
    ＞
    1
    3
    		3
    ，即AN＞NC，
    ∴直线AD与⊙相离．
    （ii）当x=3时，
    同理可求出，NC=
    		3
    ，MC=1，MN=2，AN=1
    ∴NC＞AN
    ∴直线AD与⊙相交．
    点评：本题利用了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，直角三角形的性质求解，运用了分类讨论的思想．
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    （1）当α=30°时，求x的值．
    （2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
    （3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S=
    14
    S△ABC    时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．

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