Question

【题目】（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．

①线段DB和DG的数量关系是　 　；

②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．

（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．

①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．

Answer 1

【答案】（1）①DB＝DG；②BF+BE＝BD；（2）①BF+BE＝BD，见解析；②

【解析】

（1）①根据旋转的性质解答即可；

②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；

（2）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；

②作辅助线，计算BD和BF的长，根据平行线分线段成比例定理可得BM的长，根据线段的差可得结论．

解：（1）①DB＝DG，理由是：

∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°，如图1，

由旋转可知，∠BDE＝∠FDG，∠BDG＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CBD＝45°，

∴∠G＝45°，

∴∠G＝∠CBD＝45°，

∴DB＝DG；

故答案为：DB＝DG；

②BF+BE＝BD，理由如下：

由①知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG，

∴△FDG≌△EDB（ASA），

∴BE＝FG，

∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG，

Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°，

∴CD＝CG＝CB，

∵DG＝BD＝BC，

即BF+BE＝2BC＝BD；

（2）①如图2，BF+BE＝BD，

理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝×60°＝30°，

由旋转120°得∠EDF＝∠BDG＝120°，∠EDB＝∠FDG，

在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，

∴∠DBG＝∠G＝30°，

∴DB＝DG，

∴△EDB≌△FDG（ASA），

∴BE＝FG，

∴BF+BE＝BF+FG＝BG，

过点D作DM⊥BG于点M，如图2，

∵BD＝DG，

∴BG＝2BM，

在Rt△BMD中，∠DBM＝30°，

∴BD＝2DM．

设DM＝a，则BD＝2a，

BM＝a，

∴BG＝2a，

∴.

∴BG＝BD，

∴BF+BE＝BG＝BD；

②过点A作AN⊥BD于N，过D作DP⊥BG于P，如图3，

Rt△ABN中，∠ABN＝30°，AB＝2，

∴AN＝1，BN＝，

∴BD＝2BN＝2，

∵DC∥BE，

∴

∵CM+BM＝2，

∴BM＝，

Rt△BDP中，∠DBP＝30°，BD＝2，

∴BP＝3，

由旋转得：BD＝BF，

∴BF＝2BP＝6，

∴GM＝BG﹣BM＝6+1﹣＝．