Question

如图，小明作出了边长为1的第1个正△A₁B₁C₁，算出了正△A₁B₁C₁的面积，然后分别取△A₁B₁C₁三边的中点A₂，B₂，C₂，作出了第2个正△A₂B₂C₂，算出了正△A₂B₂C₂的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A₃B₃C₃，算出了正△A₃B₃C₃的面积…求第10个正△A₁₀B₁₀C₁₀的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：规律型

分析：根据相似三角形的性质，先求出正△A₂B₂C₂，正△A₃B₃C₃的面积，依此类推△A_nB_nC_n的面积是，从而求出第10个正△A₁₀B₁₀C₁₀的面积．

解答：解：正△A₁B₁C₁的面积是

3

4

，
而△A₂B₂C₂与△A₁B₁C₁相似，并且相似比是1：2，
则面积的比是，则正△A₂B₂C₂的面积是

3

4

×

1

4

；
因而正△A₃B₃C₃与正△A₂B₂C₂的面积的比也是

1

4

，面积是

3

4

×（

1

4

）²；
依此类推△A_nB_nC_n与△A_n-1B_n-1C_n-1的面积的比是

1

4

，第n个三角形的面积是

3

4

（

1

4

）^n-1．
所以第10个正△A₁₀B₁₀C₁₀的面积是

3

4

×（

1

4

）⁹=

3

410

．

点评：本题考查了相似三角形的性质及应用，相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出规律是关键．