Question

如图，在梯形ABCD中，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果直线AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有

 

个．

Answer 1

分析：分三种情况进行分析即可：①若点P在线段AB上；②若点P在线段BA的延长线上；③若点P在线段AB的延长线上．

解答：解：①若点P在线段AB上，

∵∠A=∠B=90°
∴当

AD

BC

=

PA

PB

时，△PAD∽△PBC
∴

2

3

=

x

7-x

，解得PA=x=

14

5

；
当

AD

PB

=

PA

BC

时，△PAD∽△CBP
∴

2

7-x

=

x

3

，
∴x²-7x+6=0，
∴（x-6）（x-1）=0，
解得：PA=x=1或6；

②若点P在线段BA的延长线上，


∵∠PAD=∠B=90°
当PA：PB=AD：BC时，△PAD∽△PBC
∴

x

x+7

=

2

3

，解得：PA=x=14；

当

PA

BC

=

AD

PB

时，△PAD∽△CBP
∴

x

3

=

2

7+x

，
∴x²+7x-6=0，
解得：PA=x=

73 -7

2

；

③

若点P在线段AB的延长线上，
∵∠A=∠CBP=90°
∴当AD：PB=PA：BC时，△PAD∽△CBP
∴

2

x-7

=

x

3

，
∴x²-7x-6=0，
解得：PA=x=

73 +7

2

，
综上，满足题意的P有6种情况．

点评：此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．