Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与直线y=x－1交于A、B两点.点A的横坐标为－3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，；
（3）是否存在点P,使△PAD是直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）y=x²+4x-1；（2）∴m=,-2，或-3时S_{四边形OBDC}=2SS_△BPD

试题分析：（1）由x=0时带入y=x-1求出y的值求出B的坐标，当x=-3时，代入y=x-1求出y的值就可以求出A的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）连结OP，由P点的横坐标为m可以表示出P、D的坐标，可以表示出S_{四边形OBDC}和2S_△BPD建立方程求出其解即可．

（3）如图2，当∠APD=90°时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由△APD∽△FCD就可与求出结论，如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，就有,可以表示出AD，再由△PAD∽△FEA由相似三角形的性质就可以求出结论．
试题解析：
∵y=x-1，∴x=0时，y=-1，∴B（0，-1）．
当x=-3时，y=-4，∴A（-3，-4）．
∵y=x²+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点，∴
∴∴抛物线的解析式为：y=x²+4x-1；
（2）∵P点横坐标是m（m＜0），∴P（m，m²+4m-1），D（m，m-1）
如图1①，作BE⊥PC于E，  ∴BE=-m．
CD=1-m，OB=1，OC=-m，CP=1-4m-m²，
∴PD=1-4m-m²-1+m=-3m-m²，
∴
解得：m₁=0（舍去），m₂=-2，m₃=
如图1②，作BE⊥PC于E，
∴BE=-m．
PD=1-4m-m²+1-m=2-4m-m²，

解得：m=0（舍去）或m=-3，
∴m=,-2，或-3时S_{四边形OBDC}=2S_△BPD；
）如图2，当∠APD=90°时，设P（a，a²+4a-1），则D（a，a-1），
∴AP=m+4，CD=1-m，OC=-m，CP=1-4m-m²，
∴DP=1-4m-m²-1+m=-3m-m²．
在y=x-1中，当y=0时，x=1，
∴（1，0），
∴OF=1，∴CF=1-m．AF=4
∵PC⊥x轴，
∴∠PCF=90°，
∴∠PCF=∠APD，
∴CF∥AP，
∴△APD∽△FCD，
 ∴
解得：m=1舍去或m=-2，∴P（-2，-5）
如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，
∴∠AEF=90°．CE=-3-m，EF=4，AF=4
PD=1-m-（1-4m-m²）=3m+m²．
∵PC⊥x轴，∵PC⊥x轴，
∴∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠AEF，
∴AE∥CD．

∴AD=(-3-m)
∵△PAD∽△FEA，
∴

∴m=-2或m=-3
∴P（-2，-5）或（-3，-4）与点A重合，舍去，
∴P（-2，-5）．